Resposta no tempo

Resposta no tempo de sistemas de primeira e de segunda ordem só com pólos
Luís Borges de Almeida

1. Introdução
Estas notas apresentam, de forma sumária, o estudo da resposta no tempo dos sistemas de primeira e de segunda ordem só com pólos. De um modo geral apresentam-se apenas os resultados, sem as respectivas derivações (que, na grande maioria dos casos, são muito simples).
Enquanto, dum ponto de vista teórico, a resposta ao impulso é a ferramenta mais importante para caracterizar os sistemas no domínio do tempo, nas aplicações práticas é bastante mais importante caracterizar a resposta ao escalão.
Na Figura 1 representa-se uma resposta ao escalão genérica, e identificam-se os principais parâmetros que se utilizam para a caracterizar.

S
VF

±5%

90%

Ta
10%

tp

ts

tr
Figura 1 – Parâmetros da resposta dum sistema ao escalão.

Estes parâmetros são:
• Valor final ( VF ) – Valor para o qual tende, assimptoticamente, a resposta. Este valor é, na generalidade das situações de interesse prático, igual ao ganho estático do sistema, H (0) .
• Tempo de subida ( t r ) – Tempo que a resposta leva entre a primeira vez que cruza um determinado limite inferior e a primeira vez que cruza um determinado limite superior. Estes limites são geralmente definidos em percentagem do valor final, e é vulgar usarem-se os tempos de subida (10%–90%), (5%–95%) e
(0–100%).
• Sobre-elevação (S) – Diferença entre o valor máximo e o valor final da resposta, geralmente medida como fracção ou percentagem do valor final.
• Tempo de pico ( t p ) – tempo que a resposta leva a atingir o seu valor máximo.
• Frequência ( ω a ou f a ) e período ( Ta ) das oscilações amortecidas – Frequências (angular ou linear) e período das oscilações amortecidas que a resposta apresenta em torno do valor final. Estes parâmetros só se definem no caso de essas oscilações existirem e serem periódicas aparte o amortecimento da amplitude.

• Tempo de estabelecimento ( t s ) –