Sistema Lineares

7/8/2014

Sistemas Lineares, Método de eliminação de Gauss | Matemática - Algo Sobre

Vamos resolver, a título de exemplo, um sistema de equações lineares, pelo método de Gauss ou escalonamento.
Seja o sistema de equações lineares:
. x + 3y - 2z = 3 .Equação 1
2x . - .y + z = 12 Equação 2
4x + 3y - 5z = 6 .Equação 3
SOLUÇÃO:
1 - Aplicando a transformação T1, permutando as posições das equações 1 e 2, vem:
2x .-...y + z = 12 x ..+ 3y - 2z = 3

4x + 3y - 5z = 6
2 - Multiplicando ambos os membros da equação 2, por (- 2) - uso da transformaçãoT2 -

somando o resultado obtido com a equação 1 e substituindo a equação 2 pelo resultado obtido - uso da transformação T3 - vem:
2x - ..y + z = 12
.....- 7y + 5z = 6
4x + 3y - 5z = 6
3 - Multiplicando ambos os membros da equação 1 por (-2), somando o resultado obtido com

a equação 3 e substituindo a equação 3 pela nova equação obtida, vem:
2x - ..y + ..z = ...12
.....- 7y + 5z = ....6
........5y - 7z = - 18
4 - Multiplicando a segunda equação acima por 5 e a terceira por 7, vem:
2x -.....y + ....z =....12
.....- 35y +25z =... 30
.......35y - 49z = -126
5 - Somando a segunda equação acima com a terceira, e substituindo a terceira pelo

resultado obtido, vem:
2x - .....y + ....z = ..12
.....- 35y + 25z = ..30
...............- 24z = - 96
6 - Do sistema acima, tiramos imediatamente que: z = (-96) / (-24) = 4, ou seja, z = 4.

Como conhecemos agora o valor de z, fica fácil achar os valores das outras incógnitas:
Teremos: - 35y + 25(4) = 30 \ y = 2.
Analogamente, substituindo os valores conhecidos de y e z na primeira equação acima, fica:
2x - 2 + 4 = 12 \ x = 5.
Portanto, x = 5, y = 2 e z = 4, constitui a solução do sistema dado. Podemos então escrever que o conjunto solução S do sistema dado, é o conjunto unitário formado por um terno ordenado (5,2,4) :
S = { (5, 2, 4) }
Verificação:
Substituindo os valores de x, y e z no sistema original, teremos:
5 + 3(2) - 2(4) = 3