Series De Potencias

Séries de Potências, Taylor e MacLaurin

1. Utilize o teste da razão para determinar, analiticamente e graficamente, o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.




3x  2n
x  2n
a)  xn
b)  x  5n
c) 
d)

10n
n n0 n0 n0 n0 nx  3n
f) 
5n
n0

3n xn
e)  n0 n!


x
i)  n n1 n  n  3



 1
g)   1   xn n n0  n  x k)  n0 n!

(1) x
j)  n! n0


n

n







n n

h)

n!x  4 

n

n0



x 2n
l)   1
2n!
n0 n Teoremas
 
  
 
i)   an  xn    bn  xn    cn  xn , em que cn  a0bn  a1bn1  ...  an1b1  anb0 , para |x| R .
 n0
  n0
 n0
 
  n ii)   an  x  x 0    n  an  x  x 0 n1 , para |x  x 0 | R .
 n0
 n1

x  x 0 n1  C , para |x  x | R .  a  x  x n

  iii)    an  x  x 0 n    an 

0 n 0 n1 n 0
 n0
 n0
2. Considere a função f x  

1
, para  1  x  1 . Utilize série geométrica para mostrar que
1x
1
, para  1  x  1 .
1  x  x 2  x 3  x 4  ... 
1x

3. Utilize o exercício 2 para mostrar que
1  2x  3x 2  4x 3  5x 4  ... 

1
, para  1  x  1 .
1  x 2

4. Utilize o exercício 2 para mostrar que
1  x  x 2  x 3  x 4  ... 

1
, para  1  x  1 .
1x

5. Utilize o exercício 4 para mostrar que
1
1  x  1  x  12  x  13  x  14  ...  , para 0  x  2 . x 6. Obtenha a expansão em série de Taylor das funções abaixo em torno do x 0 especificado.
a) f(x)  ex , x0  0
d) f ( x )  sinh x , x0  0

b) f ( x )  sin x , x0  0
e) f ( x )  cosh x , x0  0

c) f ( x )  cos x , x0  0
f) f ( x )  e x , x0  1

g) f ( x )  cos x , x0  

h) f ( x )  e  x , x0  0

i) f ( x ) 

j) f ( x ) 

1
1 x

2

, x0  0

m) f ( x )  xe , x0  0 x k) f ( x ) 

1

1  x 

2

, x0  0

n) f ( x )  x sin x , x0  0
2

1
1 x

, x0  0

l) f ( x )  sin2x  , x0 


2

o) f ( x )  cos x , x0  0
2

Prof. Renato Azevedo – e-mail: [e-mail]

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