series e potencias

1 SÉRIES DE POTÊNCIA 5
2 RAIO E INTERVALO DE CONVERGÊNCIA 6
2.1 TEOREMA I 6
2.1.1 Teorema II 7
2.1.1.1 TEOREMA III 7
3 REPRESENTAÇÕES DE FUNÇÕES COMO SÉRIE DE POTÊNCIA 8
3.1 SÉRIE DE TAYLOR 10
4 DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO TERMO A TERMO 11
REFERÊNCIAS 12

1 SÉRIES DE POTÊNCIA
Uma série de potências, é uma série de funções onde os coeficientes da série an com n=0,1,2,... e os números p são constantes complexas, an(z−p)n é denominado o termo geral da série.

f(z)=
∞

n=0

an(z−p)n
Esta série de potências é convergente em z=p, e este ponto, às vezes, é o único ponto no qual a série converge. Em geral, a série pode convergir em outros pontos. Existe um número positivo R tal que uma série de potências converge em |z−p|R, enquanto em |z−p|=R ela pode ou não convergir. Uma série desse tipo pode convergir para alguns valores de x e divergir para outros valores. Assim, faz sentido falar em domínio de convergência, , que é o conjunto dos valores de x que tornam a série convergente.Este número R é chamado raio de convergência.
O primeiro que usou séries e potências para resolver problemas foi Isaac Newton, em 1665. Newton provou o teorema binomial que era conhecido para valores naturais de r, e o generalizou para valores racionais, positivos ou negativos, de r.

Em seguida, Newton desenvolveu as séries de potências para seno, cosseno, tangente, arco seno, arco cosseno, arco tangente e a função .
Toda série de potências da forma representa uma função analítica no seu círculo de convergência