Sequencias II

Sequências II
1. Considere a sequência de Fibonacci definida recursivamente por

a1  1 , a2  1 e an2  an1  an , para n  0 .
Seus termos são 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 ...
Agora, considere uma nova sequência

termos são

rn , definida como a razão dos termos da sequência de Fibonacci, ou seja, rn 

an1
. Seus an 1 5
1 2 3 5 8 13 21 34
, , , , , , , ... Mostre que Limrn 
.
n
2
1 1 2 3 5 8 13 21

2. Suponha que f seja uma função derivável no intervalo

0 , 1 e que

f(0)  0 . Defina a seqüência an  pela regra

1 an  n  f   . Mostre que liman  f'(0) . n n
3. Utilize o exercício anterior para encontrar os limites das seqüências abaixo.
a)

1 an  n  arctan 
n



b) an  n  e

1/n

 1

c)

 2 an  n  ln 1  
 n

4. Considere polígonos regulares com n lados, para n = 3, 4, 5, 6 ..., inscritos em um círculo de raio R.

a) Determine, em função de R e n, uma fórmula para o perímetro

b) Determine, em função de R e n, uma fórmula para a área

Pn do polígono inscrito de lado n. Mostre que LimPn  2  R n A n do polígono inscrito de lado n. Mostre que Lim An    R2 . n 5. O Método de Newton, para determinação de zeros de funções, estabelece uma fórmula para construção de sequências recursivas. Existem condições que, se satisfeitas, garantem a convergência de tais sequências. O método considera funções f x  satisfazendo fx   0 e define x1  cte e x n1  x n 

i) determine a fórmula recursiva; ii) com o auxilio de uma calculadora, calcule

f x n 
. Para as funções abaixo, faça: f x n 

x2 , x 3 , x 4 , x 5 e x 6 ;

iii) caso seja convergente, encontre o limite da sequência.
a)

x1  1 e f x   x 2  5

b)

x1  1 e f x   x 3  17

c)

x1  3 e f x   sinx 

Prof. Renato Azevedo – e-mail: [e-mail]