Rouche capelli

Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com)

Discussão de Sistemas
Teorema de Rouché – Capelli
Introdução:
Apresentamos esse artigo para mostrar como utilizar a técnica desenvolvida a partir do Teorema de Rouche-Capelli para sistemas lineares quaisquer. Não apresentaremos aqui a demonstração do teorema, para não estendermos além do nosso propósito (que é principalmente a sua aplicação).

Por que saber essa técnica de Rouche Capelli?
Os alunos de ensino médio estão acostumados a utilizar as regras de Cramer para discussões de Sistemas Lineares. A regra de
Cramer, conhecidamente, não é geral, e não engloba todos os tipos de sistemas lineares (há falha quando o número de incógnitas é diferente do número de equações no sistema). Portanto apresentamos uma técnica inteiramente geral, e bem simplificada para discussões de sistemas lineares.

Curiosidade: Nos vestibulares das décadas de 70 e 80 do IME algumas questões pediam para que a discussão do sistema fosse feita explicitamente por Rouche-Capelli, levando a crer então que a banca conhece o teorema, e nesse caso não aceitaria a resposta por Cramer.

Definições
Apresentaremos algumas definições para nos auxiliar posteriormente Sistema Linear
Conjunto de equações cujas variáveis aparecem como termos lineares (expoentes 1 para cada variável, e não há variáveis multiplicadas por outras variáveis). ex: xy + x² = 2 não pode ser uma equação de um sistema linear pois apresenta o termo x² (expoente 2) e o termo xy
(multiplicação de duas incógnitas).
Termos Independentes
São os termos do sistema linear que não estão acompanhados de incógnita. ex: Na equação x + y + 3z = 7 , o termo 7 é o termo independente.

Sub-matriz:
Seja a matriz A = [aij] (de ordem mxn). Sub-matriz de A é qualquer matriz formada eliminando-se um número de linhas e um número de colunas da matriz. O determinante da sub-matriz é chamado de menor de A, se a sub-matriz for quadrada.
Determinante Principal
É