Algebra linear

CAPÍTULO 2: SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
2.1 EQUAÇOES LINEARES
2.1.1 DEFINIÇÃO: Chamamos de equação linear, nas incógnitas x1, x2, ..., xn toda equação do tipo [pic], onde [pic]são os coeficientes (reais ou complexos) e b é o termo independente da equação. Exemplos:
1) 2x1 – 6x2 + 4x3 = 2
2) -3x + 4y – 5z + w/4 = 8

2.1.2 SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR Dizemos que a seqüência ou n-upla ordenada [pic] é uma solução da equação linear [pic], se [pic] for uma sentença verdadeira. Exemplo: Seja a equação linear x1 + 2x2 + x3 – x4 = -1. A seqüência (1, 0, 3, 5) é uma solução da equação, pois 1+2.0+3-5 = -1 é uma sentença verdadeira. Por outro lado, a seqüência (1, 3, 0, 1) não é solução, pois 1+2.3+0-1 = -1 é uma sentença falsa.

2.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações do tipo: [pic], onde os coeficientes aij, 1 ( i ( m e 1 ( j ( n, são números reais (ou complexos).
Exemplo: [pic].
OBS.: 1) se no sistema (*) m = n, diremos simplesmente que o sistema é linear de ordem n; 2) Se os termos independentes bi, 1 ( i ( m, forem todos nulos, o sistema (*) recebe o nome de sistema linear homogêneo. Assim, um sistema linear homogêneo é um sistema do tipo: [pic].

2.2.1 SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR Dizemos que uma n-upla de números [pic] é uma solução do sistema (*) se for solução de cada uma das m equações deste sistema. Exemplo: Dado o sistema [pic], uma solução de S é (0, 3, 4). Notaremos que essa solução não é única: a terna (8/5, 11/5, 0) também é uma solução de S.
OBS.: No sistema linear homogêneo, a n-upla (0, 0, 0, ..., 0) é sempre uma solução do mesmo. Assim, um sistema homogêneo tem sempre pelo menos uma solução.

2.3 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR QUANTO AO NÚMERO DE SOLUÇÕES Um sistema linear do tipo (*) recebe o nome de:
i) possível (ou compatível) e determinado, se apresenta única solução; ii) possível e indeterminado, se possui mais de uma solução;