Resolução de Sistemas de Equações Lineares – Métodos Diretos e Iterativos

Resolução de Sistemas de
Equações Lineares –
Métodos Diretos e
Iterativos

Sistemas de Equações Lineares
4.1 – Introdução
Um sistema de equações lineares é definido como um conjunto “m” de equações que contêm “n” incógnitas, geralmente escrito na forma:  a11 .x1  a12 .x2    a1n .xn b1
 a .x  a .x    a .x b
 21 1 22 2
2n n
2






 am1.x1  am 2 .x2    amn .xn bm

Sistemas de Equações Lineares
Este sistema de equações pode ser escrito em forma matricial como:
A.x=B
Onde A é uma matriz de ordem m x n, contendo os coeficientes das equações.
 a11

 a21
A 


a
 m1

a12 a22  am 2

 a1n 

 a2 n 


 amn 

Sistemas de Equações Lineares x é uma matriz n x 1, contendo as incógnitas.
Esta matriz é escrita como:
 x1 
 
 x2  x  

 
x 
 n

Sistemas de Equações Lineares
Finalmente, B é também uma matriz m x 1, e contém os termos independentes das equações.  b1 
 
 b2 
B  

 
b 
 m

Sistemas de Equações Lineares
O sistema de equações pode ser escrito como:
 a11

 a21
 

a
 m1

a12 a22  am 2

 a1n   x1   b1 
    
 a2 n   x2   b2 
.    




    
 amn   xn   bm 

Ou então, em sua forma de matriz estendida:
 a11

 a21
C 


a
 m1

a12 a22  am 2

 a1n b1 

 a2 n b2 

 

 amn bm 

Sistemas de Equações Lineares
Já a matriz
 x1 
 
 x2  x  

 
x 
 n

é uma solução para o sistema de equações se, para cada xi=xi, tivermos uma identidade numérica para o sistema A.x=B.

Sistemas de Equações Lineares
Definições:
-Um sistema de equações algébricas lineares é dito homogêneo, se a matriz B do sistema é nula, isto é, os bj=0.
-Um sistema de equações algébricas lineares é dito compatível, quando apresenta uma solução, e dito incompatível, quando não apresenta solução.
(Neste curso, estudaremos os sistemas de equações compatíveis, que poderão se homogêneos ou não.)

Sistemas de Equações Lineares
-Quando o número de equações é