CN Capt3

Cálculo Numérico
Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo – FEAU

Prof. Dr. Sergio Pilling (IPD/ Física e Astronomia)

III – Resolução de sistemas lineares por métodos numéricos.
Objetivos: Veremos nessa aula alguns métodos numéricos (diretos e iterativos) para resolvermos sistemas de equações lineares.

1. Introdução
A resolução de sistemas lineares é um problema que surge nas mais diversas áreas (ex. previsão do tempo, otimização de sinais de transito e linhas de metro, mecânica quântica, etc..).
Exemplo 1.
Considere, por exemplo, o problema de determinar as componentes horizontal e vertical das forças que atuam nas junções da treliça abaixo (ex. ponte de ferro).

45º

Para isto, temos de determinar as 17 forças desconhecidas que atuma nesta treliça. As componentes da treliça são supostamente presas nas junções por pinos, sem fricção.
Um teorema da mecânica elementar nos diz que, como o número de junções j está relacionado ao numero de componentes m por 2j – 3 = m, a treliça é estaticamente determinante: isto significa que as forças componentes são determinadas completamente pelas condições de equilíbrio estático nos nós.
Sejam Fx e Fy as componentes horizontal e vertical, respectivamente. Fazendo α = sen (45º) = cos (45º) e supondo pequenos deslocamentos, as condições de equilíbrio são:

III – Resolução de Sistemas Lineares – Cálculo Numérico – Prof. Dr. Sergio Pilling

1

Portanto, para obter as componentes perdidas é preciso resolver esse sistema linear que tem 17 variáveis: f1, f2, f3, ...., f17 e 17 equações.

onde

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onde A é a matriz (m,n) dos coeficientes, x é o vetor (n linhas) das variáveis e b (m linhas) é o vetor das constantes.
Chamaremos de x* o vetor solução de x, uma solução aproximada do sistema linear
Ax=b. No capitulo anterior a solução aproximada era chamada de x.
A formulação matricial do sistema Ax=b do Exemplo 1, que será resolvida no final desta