Questões - Geometria Analítica

Geometria Analıtica
Eloilton Oliveira
Prof: Beto Robert
17/04/2013

.
1. Dados a reta R e o plano π, determinar o valor de m para que se tenha R//π.

x = −3 + t



 r : y = −1 + 2t




z = 4t

π : mx − y − 2z − 3 = 0

Solu¸˜o : Para R//π, o produto escalar dos vetores, precisa admitir valor igual ` zero. Assim ca a montamos o sistema:

− −
→→
U . w =(1, 2, 4).(m, −1, −2)
− −
→→
V .w = m − 2 − 8 = 0
Para que se verifique ` igualdade, m tem que admitir valor igual a 10. Portanto, a reta R e a o plano π s˜o paralelos, se m = 10. a 2. Encontrar uma equa¸˜o param´trica da reta interse¸˜o dos planos: ca e ca π1 : 3x + y − 3z − 5 = 0

π2 : x − y − z − 3 = 0

Solu¸˜o : O ponto P = (0, −1, −2), pertence aos planos π1 e π2 . Agora, vamos encontrar um ca vetor diretor da reta:
−
→ i −
→
k

3

1

−3

1

(3, 1, −3) × (1, −1, −1) =

−
→
j

−1

−1

Assim obtemos a equa¸˜o param´trica: ca e

x = −4t




y = −1



z = −2 − 4t

= (−4, 0, −4).

3. Determinar o valor de α para que os pontos A(α, 1, 9), B(2, 3, 4),C(−4, −1, 6) e D(0, 2, 4) sejam coplanares.

Solu¸˜o : Para que os quatro pontos sejam coplanares, eles precisam pertencer a um mesmo ca plano. Assim, tomamos trˆs vetores que s˜o determinados por esses pontos, que s˜o: e a a −
−
→
AB = (2 − α, 2, −5)
−→
−
BC = (−6, −4, 2)
−→
−
CD = (4, 3, −2)
Calculando o produto misto dos vetores:



2

−6

−4

4

− −→ −→ 
− −
→
−

AB.BC × CD = 


2−α

3

−5



2 =

−2

= [2 − α(−4)(−2)] + [8 + 90 − 80 − 6(2 − α)] − 24 = 0

Resolvendo o sistema temos α=3, o que verifica a igualdade. Portanto, os pontos A,B,C e D s˜o coplanares, se α=3. a 4. Obter uma equa¸˜o geral do plano paralelo ao plano X0Y e que contenha o ponto A = ca (5, −2, 3)
−
→
Solu¸˜o : O vetor U = (0, 0, 1) ´ um vetor normal do plano XOY. Tomando um ponto ca e
−
→
P (x, y, z),