Quadricas

Cap´ ıtulo 6 Qu´dricas e superf´ a ıcies
Como as curvas, as superf´ ıcies tamb´m podem ser apresentadas formas distintas: na e forma param´trica, ou como gr´fico de fun¸˜es de 2 vari´veis ou atrav´s de equa¸˜es a 3 e a co a e co vari´veis. a A maioria das chamadas qu´dricas formam os primeiros exemplos de superf´ a ıcies, al´m e dos j´ conhecidos planos e esferas. a a Algumas destas superf´ ıcies s˜o superf´ a ıcies cil´ ındricas (reuni˜o de retas paralelas — retas geratrizes—, cada uma passando por um ponto de uma curva diretriz), cones sobre curvas (reuni˜o de retas — retas geratrizes— que passam por um ponto de uma curva a diretriz e por um ponto fixo, chamado v´rtice do cone), ou superf´ e ıcies de revolu¸˜o ca (obtidas girando uma curva diretriz em torno de um eixo fixo). Tanto cilindros como cones s˜o regrados (reuni˜o de retas), mas existem outras superf´ a a ıcies n˜o t˜o ´bvias mas a a o regradas, inclusive entre as qu´dricas. a Vamos apresentar inicialmente as qu´dricas na sua forma mais simples, com equa¸˜o a ca reduzida.

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6.1

Introdu¸˜o `s Qu´dricas ca a a

Como as cˆnicas do plano, que podiam ser descritas no sistema cartesiano por equa¸˜es o co polinomiais de grau 2 em duas vari´veis, as qu´dricas no espa¸o s˜o aquelas que podem a a c a ser representadas por equa¸˜es polinomiais de grau 2 em 3 vari´veis. co a p(x, y, z) = a11 x2 +a22 y 2 a33 z 2 +2a12 xy+2a13 xz+2a23 yz+2a14x+2a24 y+2a34 z+a44 = 0 Como nas cˆnicas, os termos mistos (2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz) representam que os o eixos e planos de simetria est˜o rotacionados em rela¸˜o aos eixos e planos coordenados. a ca Tamb´m como nas cˆnicas, o ponto de simetria (centro da qu´drica) na origem deixa a e o a equa¸˜o sem termos lineares (2a14 x + 2a24 y + 2a34 z). Assim como nas cˆnicas, existem ca o qu´dricas sem centro (parabol´ides) que nunca ficam sem todos os termos lineares. a o   a11 a12 a13 a14     a12 a22 a23 a24   e a matriz  Tamb´m temos a matriz da qu´drica,