Prova de EDO

EXAME N. 1 - GABARITO - PROVA 1

01

Classi…que as a…rmações abaixo em falso (F) ou verdadeiro (V), jus-

FALSO OU VERDADEIRO

ti…cando a resposta.
(a) (F) Se an =

1
2n

7

; então sup (an ) + inf (an ) =

1:

(b) (F) A sequência de termo geral an = ( 1)n + (2n + 3n )1=n converge para 3:
(c) (V) Se an > 0; 8n; e lim

n!1

1 nan = 0 então

1
P

an diverge.

n=1

(d) (F) Se a sequência ( 1)n an é convergente, então lim an = 0:
JUSTIFICATIVAS

::::::::::::::::::

(a) A sequência (an ) converge para zero e seus primeiros termos são:
1
;
5
Vemos que sup (an ) = 1 e inf (an ) =

1
;
3

1; 1;

1 1
; ; : : : # 0:
3 5

1, de onde resulta que sup (an ) + inf (an ) = 0:

(b) Temos que n n 1=n

n

an = ( 1) + (2 + 3 ) de onde segue que

Como lim a2n 6= lim a2n

1,

1

=

= ( 1) + 3

2
3

1=n

n

+1

;

i1=2n
+1
!1+3=4 i1=2n h
2n
+1
1 + 3 23
! 1 + 3 = 2:

a2n = 1 + 3 a2n h

n

2 2n
3

deduzimos que a sequência (an ) é divergente.

(c) Olhando a hipótese lim

n!1

1 nan = 0 sob a forma

lim

n!1

1=n an =0

vemos que a sequência (an ) torna-se, a partir de certa ordem, maior do que 1=n e como a série
P
divergente, então a série an também diverge, por comparação.

P

1=n é

(d) A sequência an = ( 1)n é divergente e, contudo, a sequência bn = ( 1)n an converge para 1:

02

Em cada caso, calcule o valor da soma da série:

CALCULANDO SOMAS INFINITAS
1
X
22n

(a)

1 cos(n

+ 3)

6n 1

n=3

1
X

(b)

n=2

1 p n
2

1 p n+1

2

:

SOLUÇÃO

::::::::::

(a) Trata-se de uma série geométrica e para colocá-la na forma padrão, usamos a relação cos(n + 3 ) = cos (n ) cos ( =3) =

1
2

( 1)n

e chegamos a:
1
X
22n

n=3

1 cos(n

6n

+ 3)

1

=
=

1
X
22n

n=3
1
X k=1 1)n

2(

6n

1

n=3
1
X

4k+1 ( 1)k+2
=
6k+1
1

16 X
36

=

=

1
X
4n

4
6