Geografia dos tomates

1. EDO DE PRIMEIRA ORDEM y’ + p(x).y = g(x)

2.1. Caso geral – fator integrante
Multiplica-se o primeiro lado da equação por uma função u(x) cujo produto deve ser igual a [u(x).y]’. Faz-se os cálculos para descobrir u(x). Volta-se à equação original que ficará na forma [u(x).y]’ = g(x).u(x). Assim, obtém-se que u(x).y = ux.gx.dx, e portanto y = 1u(x)gx.ux.dx. u(x) sempre será equivalente a epx.dx, então pode-se alternativamente utilizar esse fator integrante diretamente, multiplicando-o pelos dois lados da equação.
Para os problemas de valor inicial, deve-se substituir o valor inicial de x na função, com o resultado sendo o valor inicial de y. Assim, descobre-se o valor da constante resultante da integral final, e substitui o seu valor em y.

2.2. Equações separáveis
Se a equação pode ser colocada na forma f(x).dx = g(y).dy, ela é separável. Basta coloca-las dessa forma e integrar os dois lados.

2.3. Equação de Bernoulli y’ + p(x).y = g(x).yn
Se n ≠0 e n≠1, usa-se mudança de variável. Toma-se v = y1-n e v’ = (1-n).y-n.y’. Não se deve esquecer de incluir a derivada de y (y’), pois y é uma função de x.
Isola-se o y’, obtendo-se: y’ = 11-n.yn.v’.
Substitui-se essa expressão de y’ na equação original. Sempre será necessário dividir a equação resultante por yn, por dois motivos: primeiro, para eliminá-lo do primeiro termo do primeiro lado da equação e do segundo lado da equação, e segundo para no segundo termo do primeiro lado aparecer o yn-1, que equivale a v, devendo portanto ser substituído por este. Por fim, divide-se ou multiplica-se a equação por algum valor de modo que v’ fique sem coeficientes, obtendo-se assim uma EDO de primeiro grau. Resolvendo a EDO, obtém-se o valor de v, possibilitando a obtenção do valor de y.
*possível exercício da prova: Equação de Bernoulli com “n” irracional.

2.4. Equações exatas
É um dos métodos para resolver equações que não são lineares e nem separáveis.
Considera-se uma