Prova calculo 4

Instituto de Matem´tica - IM/UFRJ a C´lculo Diferencial e Integral IV - MAC248 a
Gabarito prim. prova unificada - Escola Polit´cnica / Escola de Qu´ e ımica - 07/07/2010 Quest˜o 1: (2.5 pontos) a Seja f a fun¸ao definida por c˜ f (x) = x, 0 ≤ x < 1, −2, 1 ≤ x ≤ 2.

˜ (a) (0.8 ponto) Seja f a extens˜o impar e per´ a ıodica de per´ ıodo 4 da fun¸ao f . Esboce o gr´fico c˜ a ˜ no intervalo [−2, 4]. de f Solu¸˜o: ca ˜ f (x) =   f (x); 0≤x 0,  u(0, t) = 2, u(1, t) = 3, t ≥ 0,   u(x, 0) = ϕ(x), 0 ≤ x ≤ 1, que representa a distribui¸˜o de temperatura numa barra. ca (a) (1.0 ponto) Determine a temperatura estacion´ria (ou permanente ou de equilibrio) v(x) da a barra. Solu¸˜o: ca A solu¸ao estacion´ria satisfaz o seguinte problema c˜ a vxx = 0 v(0) = 2 v(1) = 3 Logo, da primeira equa¸ao temos que v(x) = ax + b. Pelas condi¸oes de fronteira, obtemos: c˜ c˜ a = 1 e b = 2. Assim, v(x) = x + 2. (b) (1.0 ponto) Considerando w(x, t) = u(x, t) − v(x), encontre o Problema de Valor Inicial e de Fronteira que a fun¸ao w dever´ satisfazer. c˜ a

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C´lculo Diferencial e Integral IV - MAC248 a
Gabarito prim. prova unificada - Escola Polit´cnica / Escola de Qu´ e ımica - 07/07/2010(continua¸˜o) ca

Solu¸˜o: ca Como wt = ut , wxx = uxx − vxx = ux x, temos, wt − 4wxx = ut − 4uxx = 0 w(0, t) = u(0, t) − v(0) = 2 − 2 = 0 w(1, t) = u(1, t) − v(1) = 3 − 3 = 0 w(x, 0) = u(x, 0) − v(x) = ϕ(x) − (x + 2) Conclu´ ımos que w ´ solu¸ao do seguinte PVIF e c˜  wt − 4wxx = 0, 0 < x < 1, t > 0,  w(0, t) = 0, w(1, t) = 0, t ≥ 0,   w(x, 0) = ϕ(x) − x − 2, 0 ≤ x ≤ 1, Quest˜o 3: (2.5 pontos) a Considere o seguinte problema utt − uxx − 4ux = 0, u(0, t) = u(2, t) = 0, 0 < x < 2, t ≥ 0. t > 0, (1) (2)

(a) (1.0 ponto) Usando o m´todo de separa¸ao de vari´veis, explicite as duas equa¸˜es diferenciais e c˜ a co ordin´rias associadas a equa¸ao (1). a c˜ Solu¸˜o: ca Seja u(x, t) = F (x)G(t). Substituindo na equa¸ao (1), temos: c˜ G (t) F (x) F (x) − −4 =0 G(t) F (x) F (x) ou ainda