Propriedades dos determinantes

Propriedades[editar | editar código-fonte]

O determinante também é uma função n-linear e alternada nas colunas da matriz;
O determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta: det(A) = det(AT);2
Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então o determinante desta matriz será zero;
Se escrevermos cada elemento de uma linha ou coluna de A como soma de duas parcelas então det(A) é a soma de dois determinantes de ordem n cada um considerando como elemento daquela linha ou coluna uma das parcelas, e repetindo as demais linhas ou colunas;
Se uma matriz é triangular (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal;
Multiplicando uma fila (linha ou coluna) de uma matriz A por um escalar λ ∈ K, então o determinante da nova matriz é igual ao determinante de A multiplicado por λ;
Se permutarmos duas linhas ou colunas de A então o determinante da nova matriz é −det(A);
Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det(A) = 0;
Se somarmos a uma linha (ou coluna) de A um múltiplo de outra linha (ou coluna), o determinante da nova matriz é igual ao de A;
Se A e B são matriz quadradas da mesma ordem, então det(AB) = det(A).det(B);3
Se A é invertível, então det(A−1) = 1⁄det(A), de onde resulta que se A é invertível então det(A) ≠ 0;
Se A é ortogonal, então det(A) = ±1.
Cálculo de determinantes por triangularização[editar | editar código-fonte]

Tendo em vista a propriedade de que o determinante de uma matriz triangular é o seu termo principal (propriedade 5), a ideia é aplicar operações elementares sobre suas linhas, de modo a triangularizá-lo. Para isso devemos observar os efeitos que cada operação elementar pode ou não causar no valor do determinante procurado:
Permutar linhas troca o sinal do determinante (propriedade 7);
Multiplicar uma linha por um número real \lambda não nulo, multiplica o determinante por \lambda (propriedade 6);
Somar a uma linha um múltiplo de outra não