Propriedade dos determinantes

Propriedades dos Determinantes
As propriedades envolvendo determinantes facilitam o cálculo de seu valor em matrizes que se enquadram nessas condições. Observe as propriedades:
1ª propriedade
Fila de zeros, se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada A forem iguais a zero, seu determinante será nulo, isto é, det A = 0. Ou seja, ao observar uma matriz e verificar que os elementos de uma linha ou uma coluna são iguais a zero, o valor do seu determinante também será zero.

2ª propriedade
Filas paralelas proporcionais, se uma matriz quadrada A possui duas linhas ou duas colunas proporcionais, seu determinante será nulo, isto é, de A=0. Ou seja, caso ocorra igualdade de elementos entre duas linhas ou duas colunas, o determinante dessa matriz será nulo.

3ª propriedade
Troca de filas paralelas, se trocarmos entre si a posição de duas linhas (ou colunas) de uma matriz quadrada A, o determinante da matriz obtida será o oposto do determinante da matriz obtida será o oposto do determinante da matriz anterior A.

4ª propriedade
Multiplicação de uma fila por uma constante, se todos os elementos de uma linha ou coluna forem multiplicados por um mesmo número real k, então seu determinante fica multiplicado por k (k.detA).
Seja a matriz A = e B = detA = detB =
Consequência da 4ª pro´priedade, e se multiplicarmos a matriz inteira por k, o que acontecerá com seu determinante? Ou seja, da a matrix A, qual o valor do determinante da matriz B = KA? Vimos que a multiplicação de um número real k por uma matriz resulta em outra matriz onde todos os seus elementos são multipliacados por k. Então, se uma matriz quadrada A de ordem n é multiplicada por uma constante k, todas suas linhas serão multiplicadas por k. Logo pela propriedade anterior, seu determinante será multiplicado por kn(pois temos n linhas sendo multiplicadas por k)
Exemplos:

5ª propriedade
Determinante da transposta, o determinante da