Proporção Aurea

Proporção áurea
Número "escondido" na natureza
Maria Ângela de Camargo*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
É costume que se chame o número = 1,618... = de número de ouro ou razão áurea, por representar a proporção áurea, ou a divina proporção

Considere um retângulo de dimensão a e b, sendo a > b e tais que, subtraindo-se um quadrado do seu comprimento, reste um retângulo semelhante ao primeiro, conforme se vê abaixo:

Este é o chamado retângulo áureo, figura de grande apelo estético e forma das mais utilizadas na arquitetura clássica e moderna (o Partenon, em Atenas, por exemplo, tem as dimensões frontais do retângulo áureo).

Da semelhança entre os dois retângulos, decorre a equação: .

Exprimindo b em função de a, chegamos a: .

O segmento b é denominado segmento áureo de a. Em outras palavras: se um segmento tem comprimento a, o seu áureo tem comprimento .

Observando a base do retângulo maior:

Dizer que b = AD é o segmento áureo de a = AB equivale a dizer que C é um ponto do segmento AB tal que .

Também é comum dizer que o ponto D divide o segmento AB em média e extrema razão.

Se a = 1, b =

Se b = 1, a =

Compare os dois últimos resultados: 1/ + 1 = .
Propriedades da proporção áurea
Esse número tem várias outras propriedades interessantíssimas:

a) Somar duas potências inteiras consecutivas de resulta na próxima potência de :

b) O mesmo acontece com potências de expoente inteiro negativo:

c) Por fim, a soma de todas as potências inteiras negativas de produz o próprio :

d) Para gerar em uma calculadora simples, siga os passos:

 insira 1

 inverta o resultado , e some 1

 inverta o resultado, e some 1

Continue o processo e o resultado convergirá para !

Essa é para você pensar: qual é a sequência de passos dessa expressão que, surpreendentemente, também converge para ?

A divina proporção na arte e nas ciências
Na natureza, a