projeto calculo numerico

C´lculo Num´ricos a e

Projeto

1

M´ ınimos Quadrados
1. Ajuste os dados abaixo pelo M´todo de Quadrados M´ e ınimos: x 1
2
3
4
5
6
7
8
f (x) 0.5 0.6 0.9 0.8 1.2 1.5 1.7 2.0
(a) Utilizando uma reta: g(x) = ax + b.
(b) Utilizando uma par´bola: g(x) = ax2 + bx + c. a (c) Dˆ o res´ e ıduo em cada um itens anteriores.
(c) Fa¸a o diagrama de dispers˜o dos dados. c a
(d) Trace as duas curvas no gr´fico de dispers˜o dos dados. a a
2. Dada a tabela abaixo, fa¸ o gr´fico de dispers˜o e ajuste uma curva c a a da melhor maneira poss´ ıvel x
0.5 0.75 1 1.5 2.0 2.5 3.0 f (x) −2.8 −0.6 1 3.2 4.8 6.0 7.0
3. Ajuste os dadaos abaixo por polinˆmios de grau 1, 2 e 3. Estime o erro o de quadrados m´ ınimos de cada polinˆmio e fa¸ os gr´ficos do diagrama o c a de dispers˜o e dos polinˆmios. a o
0
0.15 0.31
0.5
0.6
0.75
x f (x) 1.0 1.004 1.031 1.117 1.223 1.422

1

2

Sistema Lineares

4. Considere o sistema de equa¸˜es lineares dado por: co 4x1 x1 x1 x1 + x2
+ 5x2
− x2
+ x2

+
+
+ 4x3
+

x4 x4 3x4

=
=
=
=

1
1
1
2

(1)

(a) Escreva o sistema linear (1) de forma matricial Ax = b.
(b) Resolva o sistema linear utilizando o m´todo de Elimina¸˜o Gause ca siana.
(c) Verifique a solu¸ao multiplicando a matriz de coeficientes A com c˜ o vetor solu¸˜o x. ca 5. Considere a seguinte matriz



2 −3 1
0
 −4 8 −1 −1 
.
A=
 6 −9 6
2 
2
1
0 −8

(2)

a.) Utilize a estrat´gia de pivotamento para determinar a Fatora¸˜o e ca
LU = P A, onde a matriz P ´ uma matriz de permuta¸˜o. Qual e ca
´ a matriz P ? Verifique que de fato LU = P A. e b.) Resolva o sistema linear Ax = b, onde o vetor b ´ dado por e b = [0, −3, −4, −6]
c.) Verifique a se a solu¸˜o do item anterior satisfaz Ax = b. ca 3

Comandos uteis para Octave
´
• Fatora¸˜o LU = P A. ca [L, U, P ] = lu(A)
• Resolver sistema linear Ax = b x = A “b onde b ´ um vetor em p´ e e

2

• Ajuste