Professor

Lista 1
1. Encontre uma f´rmula para o termo geral an da sequˆncia, assumindo que o padr˜o dos o e a primeiros termos continua.
1
1
a) { 2 , 1 , 1 , 16 , . . .}
4 8
4
8
b) {1, − 2 , 9 , − 27 , . . .}
3

c) {5, 1, 5, 1, 5, 1, . . .}
2. Determine se a sequˆncia converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. e (a) {n(n − 1)}
3 + 5n2
(b)
n + n2
2n
(c)
3n+1
n
√
(d)
1+ n+1
(−1)n−1 n
(e)
n2 + 1
(f)
(g)

ln(n2 ) n √
√
n+2− n

ln(2 + en )
3n
−n }
(i) {n2

(h)

(j) {ln(n + 1) − ln(n)} cos2 (n)
(k)
2n ncos(n) (l) n2 + 1
(−3)n
(m) n 3. Se R$1.000, 00 forem investidos a uma taxa de 6%, compostos anualmente, depois de n anos o investimento valer´ an = 1.000(1, 06)n reais. A sequˆncia ´ convergente ou divergente? a e e Explique.
4. Para quais valores de r a sequˆncia {nrn } ´ convergente. e e e e
5. Uma sequˆncia {an } ´ definida por a1 = 1 e an+1 =
{an } ´ convergente, encontre seu limite? e 1 para n ≥ 1. Assumindo que
(1 + an )

Sugest˜o: Use que: se {an } for convergente, ent˜o lim an+1 = lim an . a a n→∞ n→∞

6. Determine se a sequˆncia dada ´ crescente, decrescente ou n˜o mon´tona. A sequˆncia ´ e e a o e e limitada? (a) an =

1
5n

1
2n + 3
2n − 3
(c) an =
3n + 4
(d) an = cos(n π )
2
n
(e) an = 2 n +1
(b) an =

7. Uma sequˆncia {an } ´ dada por e e a1 =

√
2,

an+1 =

√
2 + an .

(a) Por indu¸˜o, ou de outra maneira, mostre que {an } ´ crescente e limitada superiormente ca e por 3. Aplique o teorema da sequˆncia mon´tona para mostrar que lim an existe. e o n→∞ (b) Calcule lim an . n→∞ 8. Mostre que a sequˆncia definida por e a1 = 1,

an+1 = 3 −

1 an ´ crescente e que an < 3 para todo n. Deduza que {an } ´ convergente e calcule seu limite. e e
9. .
(a) Fibonacci propˆs o seguinte problema: suponha que coelhos vivem para sempre e que o a cada mˆs cada par produza um novo par, que se torna reprodutivo com 2 meses