Paulo winterle

1a Prova de Geometria Anal´ıtica e Sistemas Lineares
Curso de Ciˆencias Exatas - 20/04/2011
Departamento de Matem´atica - ICE - UFJF
Quest. Notas
1
2
3
4
5
Total
Aluno: Matr´ıcula: Turma:
Observa¸c˜oes: Esta prova deve conter 5 quest˜oes em 3 folhas, encerrando-se no item
5(b). A prova ´e individual, sem consulta e n˜ao ´e permitido o uso de calculadora.
1. Considere as seguintes matrizes:
A =

2 1
−3 1

B =

1 0 2
4 1 −1

C =
2
4
0 −1
1 5
3 2
3
5 D =
2
4
3 3 −1
3 −2 3
0 1 1
3
5
Se poss´ıvel, efetue as opera¸c˜oes seguintes. Caso contr´ario, justifique. (15 pts)
(a) BC − CB
(b) A + (BC)t
(c) D2 + CB
2. (a) R2esolva o sistema linear cuja matriz aumentada associada ´e:
4
1 2 | −3
0 1 | −2
0 0 | 5
3
5 (25 pts)
(b) R2esolva o sistema linear cuja matriz aumentada associada ´e:
4
1 3 −1 | 5
0 0 −5 | 15
0 0 0 | 0
3
5
(c) Resolva, usando escalonamento de matrizes (m´etodo de Gauss ou de Gauss-
Jordan), o sistema linear:
8<
: x1 − 2x2 − x3 = 1
−4x1 + 5x2 + 2x3 = −1
−4x1 + 7x2 + 4x3 = 0
3. (a) Encontre, se poss´ıvel, a inversa da matriz A =
2
4
3 3 2
3 −2 3
4 2 3
3
5. (25 pts)
(b) Dada a matriz C =
2
4
5 2 −1
3 0 2
−1 1 1
3
5, usando o item (a), determine matriz M de ordem 3 × 3 tal que MA = C.
4. (a) Calcule o determinante da matriz A =
2
664
4 2 5 −1
2 −2 0 2
3 1 4 0
3 5 8 0
3
775
. (25 pts)
(b) Compare a matriz B =
2
664
2 −2 0 2
4 2 5 −1
3 1 4 0
6 10 16 0
3
775 com a matriz A acima. Usando apenas propriedades do determinante (sem calcular) determine det(B) e det(2A · B−1).
Justifique suas respostas.
5. Classifique cada uma das afirma¸c˜oes abaixo como VERDADEIRA ou FALSA. Se verdadeira, prove; se falsa, prove ou dˆe um contra-exemplo. (10 pts)
(a) Se A e B s˜ao matrizes n × n tais que AB = ¯0 e B ´e invert´ıvel ent˜ao A = ¯0.
(b) Se A e B s˜ao matrizes n × n invert´ıveis ent˜ao (AB)−1 =