Exerc cios Resolvidos 2013 Superf cies Qu dricas Alfredo Steinbruch Paulo Winterle

GUIDG.COM – PG. 1

14/4/2010 – ALGA-1: Exercícios Resolvidos – Superfícies Quádricas
* Do Livro de Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle.

1 – Revisão de conteúdo.
2 – Veja alguns exemplos gráficos de superfícies geradas a partir do computador. Partindo de exercícios mais simples, e seguindo até as formas mais complicadas.

Uma brevíssima revisão das equações e dos gráficos de superfícies:
Elipsóide:

Centro C(0, 0, 0):
2
2
2
xf f f f f f f yf f f f f f f zf f f f f f +
+
=1
2
2
2
a c b
O sinais da equação são positivos. a, b e c são os eixos das elipses.
Centro C(h, k, l): b c2
`
a2
`
a2 y @ k xf
@
hf zf @ lf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f

a2

Hiperbolóide de uma folha:

+

b

2

+

c2

=1

Centro C(0, 0, 0).
Um dos sinais é sempre negativo.
2
2
2
xf f f f f f yf f f f f f f zf f f f f f (1) + + - : f
+
@
=1
2
2
2 a c b 2
2
2 xf f f f f f yf f f f f f f zf f f f f f (2) + - + : f
@
+
=1
2
2
2 a c b 2
2
2 xf f f f f f yf f f f f f f zf f f f f f (3) - + + : @ f
+
+
=1
a2 b2 c2

Hiperbolóide de duas folhas:

Centro C(0, 0, 0).
Dois sinais são sempre negativos.
2
2
2
xf f f f f f yf f f f f f f zf f f f f f (1) + - - : f
@
@
=1
2
2
2 a c b 2
2
2 xf f f f f f yf f f f f f f zf f f f f f (2) - + - : @ f
+
@
=1
2
2
2 a c b 2
2
2 xf f f f f f yf f f f f f f zf f f f f f (3) - - + : @ f
@
+
=1
2
2
2 a c b GUIDG.COM – PG. 2
Parabolóide Elíptico:
Os sinais são iguais. ax, by, cz
(1)

2
2
xf f f f f f f yf f f f f f f f +
= cz a2 b2

(2)

2
2
xf f f f f f f zf f f f f f f
+
= by a2 c2

(3)

2
2
yf f f f f f f f zf f f f f f f
+
= ax
2
2 c b

Parabolóide Hiperbólico (Sela):
Os sinais são contrários.
(1)

2
2
yf f f f f f f xf f f f f f f
@
= cz
2
2 a b

2
2
zf f f f f f f xf f f f f f (2) 2 @ 2f
= by c a

(3)

Superfície Cônica:

2
2
zf f f f f f yf f f f f f f
@
= ax c2 b2

Equações semelhantes às do Elipsóide porem igualadas à zero.
O termo de