Paraboloide eliptico

Paraboloide Elíptico

Nas superfícies quádricas, sabemos que elipses, círculos e hipérboles são encontrados como seções planas. Nos paraboloides as parábolas aparecem de forma natural. Elas ocorrem em duas das três formas de obtermos seções nos paraboloides, ou seja, as parábolas são as cônicas que mais aparecem como seções planas (paralelas aos planos coordenados) num paraboloide. Um paraboloide é denominado elíptico quando suas seções são parábolas e elipses.

Definição: Sejam a e b números reais positivos. Denominamos paraboloide elíptico a superfície quádrica S formada pelos pontos P = (x; y; z) cujas coordenadas satisfazem uma equação do tipo:

Características:

1 – A equação do paraboloide elíptico é composta de um termo linear e dois termos quadráticos com o mesmo sinal. 2 – A superfície encontra-se ao longo do eixo correspondente à variável do primeiro grau na forma canônica da equação. 3 – Observe que para c > 0 temos que z ≥ 0. Logo, a superfície encontra-se inteiramente acima do eixo xy. Caso contrário, c < 0 , a superfície se encontrará inteiramente abaixo do eixo xy.

4 – Traços sobre os planos coordenados:

5 – Seções por planos paralelos aos planos coordenados:

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6 – Esboço da Superfície:

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7 – Essas características não mudam quando a superfície é refletida por um plano coordenado ou por planos da forma x = y, x = z ou y = z.

8 - Quando as seções transversais elípticas de um paraboloide elíptico são círculos, é usado o termo paraboloide circular. Devido os coeficientes a e b da equação serem iguais.

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O Traço no plano xy é um ponto (a origem) e os traços em planos paralelos e acima dele são elipses.

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