Otimização Derivadas

Lista 6 – Derivadas direcionais e gradiente.
1) Determine as derivadas direcionais de f no ponto dado e a direção indicada pelo ângulo θ.
a)
b)
c)

( , )=
( , )=
( , )=

−

, (2,1), θ=π/4

5 − 4 , (4,1), θ=-π/6
( ), (2,0), θ=π/3

2) Determine o gradiente de f, calcule o gradiente no ponto P e calcule a taxa de variação de f em P na direção do vetor dado v
a)

( , )= 5

b)

( , )=
( , )=
( , )=

c)
d)

, P(1,2), v = (5,12)

− 4

, P(1,-3), v = (-4,3)
, P(3,0,2), v = (2,-2,1)
, P(1,3,1), v = (2,3,6)

+

3) Determine a derivada direcional da função no ponto dado, na direção e sentido do vetor v.
a) ( , ) = 1 + 2
, (3,4), v = (4,-3).
b) ( , ) = ln ( + ), (2,1), v = (-1,2).
c) ( , ) =
, (2,0), v = i+j.
d) ( , ) =
, (0, π/3), v = 3i-2j
4) Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção e o sentido em que isso ocorre.
a) ( , ) =

, (2,4)

b) ( , ) =

+

c) ( , ) =

(

d) ( , , ) =

), (1,0)
, (1,1,1)

e) ( , , ) = ln (
f) ( , , ) =

, (0,0)

), (1,-2,-3)

( + 2 + 3 ), (-5,1,1)

5) A temperatura em um ponto (x,y,z) é dada por ( , , ) = 200

.

a) Determine a taxa da variação da temperatura no ponto (2, -1,2) em direção ao ponto
(3,-3,3).
b) Qual a direção e o sentido de maior crescimento da temperatura em P?
c) A taxa máxima de crescimento em P.

6) Suponha que em certa região do espaço o potencial elétrica V seja dado por
( , , )=5 − 3 +
.
a) Determine a taxa de variação do potencial em P(3,4,5) na direção de vetor v= i+j-k.
b) Em que direção e sentido V varia mais rapidamente em P?
c) Qual a taxa máxima de variação em P.
7) Suponha que você esteja escalando um morro cujo formato é dado pela equação
= 1000 − 0,01 − 0,02 , onde x e y e z são medidos em metros, e você esteja em pé no ponto de coordenadas (50,80,847). O eixo positivo dos x aponta para leste e o eixo positivo dos y aponta par norte.
a) Se você andar exatamente para o Sul, você começará a subir