OBMEP

36ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível 3 (Ensino Médio)
PARTE A
(Cada problema vale 5 pontos)
01. No desenho abaixo, o triângulo pode ser escrita na forma
,

é equilátero e
(
)
. Quanto vale

. A razão
?

𝐶
𝐸
𝐹
𝐺
𝐴

𝐷

𝐵

02. O imparial de é igual ao produto de todos os naturais ímpares menores ou iguais a .
Quais são os três últimos algarismos do imparial de
?
03. A sequência de ?

satisfaz

04. A mediana de um conjunto { termos centrais de subconjuntos de { por .

se

e

√

. Qual é o inteiro mais próximo

} com

é par e ao termo central
} com mediana igual a

é igual à media dos dois se é ímpar. Sendo

a quantidade

, encontre o resto da divisão de

05. Uma caixa de madeira em forma de paralelepípedo retângulo possui dimensões
.
Ela está sobre o chão com uma de suas faces completamente apoiada sobre o chão. Uma fonte de luz emite raios paralelos de luz formando com o chão. Considerando apenas essa fonte de luz, qual a área da maior sombra possível da caixa no chão? Não inclua a base da caixa na sombra. 06. Um conjunto é dito completamente divisível se para quaisquer elementos temos que divide . Um conjunto de inteiros positivos é completamente divisível e possui como um de seus elementos. Sabendo que todos os elementos de são menores que milhões, qual o máximo número de elementos que pode ter?

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36ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível 3 (Ensino Médio)
PARTE B
(Cada problema vale 10 pontos)

PROBLEMA 1
Numa sala de aula, o professor fez uma votação para ver se adiava ou não a data da prova de
Matemática. Um terço dos alunos foi contra o adiamento e o restante a favor. Vários alunos argumentaram e o professor fez nova votação, na qual alunos mudaram de opinião, de modo que dos alunos passaram a ser contra o adiamento da prova. No máximo, quantos