Números grandes

Como usar os números ordinais para definir números grandes??
Faremos o seguinte. Usaremos a notação a[b]c, aonde a e c são naturais e b é ordinal. a[1]b=a+b. a[b+1]c=a[b]a[b]...[b]a com c "a"s. Exemplo 3[4w+2]4=3[4w+1]3[4w+1]3[4w+1]3.
A direção em que opermos é da direita pra esquerda, que é onde vai mais rápido. No caso, temos a[b+1]3=a[b](a[b]a) e a[b+1]4=a[b](a[b](a[b]a)). Quando temos um ordinal limite b, definimos a[b]c como a[b(c)]a. Exemplo: a[2w]3=a[2w(3)]a=a[w+3]a. Usamos assim, a sequência fundamental.
Defino aqui o meu número como sendo 10[Bachman-Howard]100, que eu chamo de "Beagagol". Mais tarde irei defini-lo mais precisamente. Existem ordinais bem maiores, mas há formas de ir mais longe que tudo isso. Veremos isso depois.
Vamos agora verificar a grandeza desses números experimentalmente. Boa parte das pessoas já ouviu falar do Googolplex. Um Googol, é um seguido de cem zeros. Bem maior que o número de átomos do universo. Já um googoloplex é um seguido de um googol de zero, ou seja, 10^googol, 10^(10^100). É maior, por exemplo, que todas as imagens possíveis de serem exibidas por uma tela de computador comum. Dizer "número de átomos do universo" parece ir muito bem, pois pra muitos é grande mesmo. Mas isso é só pra começar. Googolplex não pode ser escrito nem mesmo usando todos os átomos do universo, pois tem um googol de zeros. Na minha notação, googol=10[3]100. E Googolplex=10[3](10[3]100). O número 10[4]4 seria 10[3](10[3](10[3]10)), 10^(10^(10^10)), que é maior que 10^(10^(100))=10^(10^(10^2)), portanto maior que Googolplex. Poucos conhecem o Número de Graham. É conhecido por ser o maior número jamais utilizado em uma prova matemática (o que não é exatamente verdade, há artigos indo bem além dele, como os de Harvey Friedman), mas quase certamente é o maior número que possui um nome minimalmente conhecido (não valendo os blogueiros que definem números maiores ainda ou artigos que sejam extremamente desconhecidos). Bom começamos, usando a minha