Número Racionais

Construção dos números racionais,
Números fracionários e operações com frações

O número racional pode ser definido a partir da aritmética – fechamento da operação de divisão entre inteiros – ou partir da geometria -

medidas de

segementos . Neste texto, optamos pela abordagem aritmética
Divisão entre números inteiros
Como já vimos, a operação de divisão é definida para números inteiros do seguinte modo:

m : n = p se e só se m = n . p , com n ≠0

Nos inteiros, divisão não tem a propriedade fechamento, pois o quociente m : n é inteiro se e só se m é múltiplo de n e n ≠0.
Múltiplo e divisor de um número:

Para a, b Є Z+
1) m é múltiplo de n se e só se existe um inteiro p, tal que m = p.b
2) n é divisor de m se existe um inteiro p, tal que m :n = p

Existem propriedades para os números múltiplos e para a divisão:
Para m, n Є Z+

1.

m é múltiplo de 1 e múltiplo dele mesmo, se não for nulo.

2.

1 é divisor de todos os números inteiros.

3.

0 não divide número algum

4.

0 é múltiplo de todos os números não nulos.

5.

Para cada divisão m : n , com n ≠0, existe uma família infinita de divisões

que têm o mesmo quociente. Estas divisões são equivalentes e são obtidas combinando pares de múltiplos e pares de divisores de m e n, isto é, dados m, n ≠0 e p ≠ 0 , m : n = pm : pn
6.

Para cada m, n ≠0, m : n = 0 se e só se m = 0.

É essencial que você estude as demonstrações destas propriedades, em
Apresentação: múltiplos e divisores.

Fração, número fracionário, reprentação fracionária
Para completar a operação de divisão, define-se um novo conjunto numérico, o conjunto dos racionais: Q+
Para isto, amplia-se o conjunto dos inteiros, incluindo todo os quocientes m : n de números inteiros, desde que n ≠ 0.

Neste caso, define-se um símbolo para representar o resultado da divisão de dois inteiros quaiquer m e n, n ≠ 0,

A este símbolo

m:n=

m n m denomina-se fração ou número fracionário.
n