Numeros neperianos

30

3.

3.1.

LOGARITMO.

SISTEMA DE LOGARITMO

LOGARITMO
Agora que já "sabemos" o que é ax, podemos formalizar a definição de

logaritmo.
Definição
Sejam a e b números reais positivos, com a ≠ 1. Chama-se logaritmo de b na base a, o expoente x que satisfaz a equação ax = b.

log a b = x ⇔ a x = b x é o logaritmo a é a base b é o logaritmando

As restrições impostas à base a e ao logaritmando b decorrem das seguintes
Observações
1) a ∈ R * , para que a x tenha significado ∀x ∈ R.
+
2) a ≠ 1, pois, caso contrário, log a b só teria significado para b = 1.
3) b ∈ R * pois, como a > 0, temos que ax > 0.
+

Ribeiro A., Prates E., Vergasta E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Mascarenhas M.

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Proposição 3.1.
Se a, b ∈ R * , a ≠ 1, existe um único número real x tal que x = log a b .
+
D] Segue imediatamente da Propriedade P9), considerando que log a b = x ⇔ a x = b

Exemplo
Calcule log 0,25 32
Solução:
x

 1
− 2x
5
= 25 ⇔ log0,25 32 = x ⇔ (0,25) = 32 ⇔ (0,25) = 2 ⇔   = 2 ⇔ 2
 4 x x

5

5
5
− 2x = 5 ⇔ x = − ∴ log 0,25 32 = −
2
2
Como consequências imediatas da definição de logaritmo temos que se a, b c ∈ R * ,
+
a ≠ 1 e α ∈ R, então:
1) loga 1 = 0
D] log a 1 = x ⇔ a x = a 0 ⇔ x = 0 .

Ribeiro A., Prates E., Vergasta E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Mascarenhas M.

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2) loga a = 1

D] log a a = x ⇔ a x = a 1 ⇔ x = 1
3) loga a α = α
D] log a a α = x ⇔ a x = a α ⇔ x = α

b

4) a loga = b

D] log a b = x ⇔ a x = b
5) loga b = loga c ⇒ b = c

D] log a b = x ⇔ a x = b

( III )

x log a c = x ⇔ a = c

( IV )

De ( III ) e ( IV ) concluímos que b = c.
Sejam a, b, c, ∈ R * , a ≠ 1 e α e β ∈ R, β ≠ 0 . Temos as seguintes
+
propriedades
P1 ) log (bc) = log b + log c a a a Ribeiro A., Prates E., Vergasta E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Mascarenhas M.

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D] Consideremos que x log a (bc) = x ⇔ a = bc y log a b = y ⇔ a = b z log a c = z ⇔ a =