Numero de euler
Número de Euler
Na matemática, o número de Euler, denominado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é a base dos logaritmos naturais. As variantes do nome do número incluem: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante matemática, número exponencial etc. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos):
para , ou seja:
ou ainda, substituindo-se n por
Cujo valor é aproximadamente 2,718 281 828 459 045 235 360 287.
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Caracterizações menos triviais de
Alternativamente à representação mais conhecida, temos também:
O número pode ser representado e calculado por meio da utilização da série de Taylor para quando x=1, como a soma da seguinte sérieinfinita:
Aqui n! representa o fatorial de n.
A função (função exponencial de base ) pode ser representada da seguinte forma:
,
assim, por exemplo, tem-se : ou ainda
Outra maneira de se encontrar o valor de é pelo desenvolvimento da fração contínua, escrito sob a forma interessante:
Ou, de forma mais simplificada (sequência [[OEIS:{{{1}}}|{{{1}}}]] na OEIS):
que pode ser escrita mais harmoniozamente com a utilização do zero:
Muitas outras séries, seqüências, frações contínuas e produtos infinitos que representam já foram desenvolvidas.
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O Número no Cálculo
A função exponencial tem a intrigante propriedade de ser sua própria derivada, i.e.:
Isto significa que tem a notável propriedade de que a taxa de variação de