Métodos iterativos de solução de sistemas lineares

1.6- MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES PRÉ-REQUISITOS PARA MÉTODOS ITERATIVOS

1.6.1- NORMAS DE VETORES Definição 1.6.1- Chama-se norma de um vetor x, x , qualquer função definida num espaço vetorial E, com valores em R, satisfazendo as seguintes condições: N1) x ≥ 0 e

x = 0 se e somente se x = 0. x para todo escalarλ.
(desigualdade triangular).

N2) λx = λ

N3) x + y ≤ x + y

Como exemplos de normas no Rn de uso frequente temos: n a)

x

E

= i =1

x ,

2 i

n

b)

x

∞

=

max
1≤ i ≤ n
N

xi ,

c)

x

1

= i =1

x i

Vamos mostrar que x E =

I =1

X I2 é uma norma bem definida no Rn, isto é, vamos

mostrar que as condições N1, N2, N3 estão satisfeitas. (A prova de que b) e c) definem normas no Rn fica a cargo do leitor). Assim: n N1)

x

E

= i =1

xi2 ≥ 0 (evidente) n i =1

n

x

E

= i =1

x =0 n i =1

2 i

⇔

xi2 = 0 ⇔ xi = 0, ∀i ⇔ x = θ n i =1

N2)

λx E =

λ2 xi2 =

λ2

n i =1

xi2

=

λ

xi2 = λ

x

E

25

N3)

x+y

2 E

=

( xi + yi )2 = (x1+y1)2 + (x2 + y2)2+...+ (xn + yn)2 =

2 2 2 2 = x12 + 2 x1 y1 + y12 + x2 + 2 x2 y2 + y2 + + xn + 2 xn yn + yn = n n i =1 n

= i =1

x +2

2 i

xi yi +

i =1

yi2 = ∗

Usando desigualdade de Schwartz: n i =1

xi yi ≤ n i =1

n i =1

x

2 i

n i =1

yi2 ; temos: n i =1 n i =1

∗≤
=

xi2 + 2

n i =1

xi2

yi2 +

yi2

x

2 E

+2 x

E

y

E 2 E

+ y

2 E

=(x
E

E

+ y E )2

Portanto:

x+y

≤( x

+ y E )2

Extraindo-se a raiz quadrada de ambos os membros, temos que x+y
E

≤ x

E

+ y n E

Logo, x

E

=

i =1

xi2 é uma boa definição de norma.

Exemplo de cálculo de norma.
−1 10

Seja

x=

3 4 − 20

x

E

=

(−1) 2 + 102 + 32 + 4 2 + (−20) 2 = 526

x ∞ = max ( − 1 , 10 , 3 , 4 , − 20 ) = 20 x 1 = − 1 + 10 + 3 + 4 + − 20 = 38

26

Definição 1.6.2

Duas normas