método Ziegler-Nichols e iterativo

O diagrama de blocos do sistema, utilizando o método ITAE, é o mesmo do exercício utilizando o método Ziegler-Nichols, porém com a adição de um filtro (Transfer Fcn1), que poderá ou não ser utilizado.

Figura 1: Diagrama de blocos do sistema (Simulink)

A função de transferência de malha fechada do sistema é calculada da seguinte forma:

*

FTMF = (1)

Da tabela ITAE, a equação característica ótima é:

+ 2.1 * wn * + 3.4 * wn² * s² + 2.7 + (2)

Comparando o denominador da equação 1 com a equação 2, podemos encontrar o valor de wn.

1.5 * s³ = 2.1 * wn * s³ wn = 1.5/2.1 = 0.714

E fazemos a mesma coisa para encontrarmos os valores de Kp, Kd e Ki, porém foi feito no Matlab com o seguinte código:

Wn=1.5/2.1;
Kd=(Wn*Wn*3.4)-0.75
Kp=(Wn*Wn*Wn*2.7)-0.125
Ki=Wn*Wn*Wn*Wn

E o resultado obtido foi

Kd = 0.9847

Kp = 0.8590

Ki = 0.2603

Substituindo os valores na equação 1:

FTMF =

E a equação do filtro é dada por:

Filtro =

Por fim, simulando o sistema com os valores obtidos, observamos o gráfico a seguir.

Figura 2: Gráfico da resposta do sistema

Ao setarmos o tempo de acomodação igual a 4 segundos e calcularmos os valores de wn, a resposta é um sistema instável, ou seja, não é possível obter um sistema estável com 4 segundos de tempo de acomodação utilizando esse método.

Iterativo

O diagrama de blocos do sistema foi montado no Simulink conforme mostrado na figura a seguir.

Figura 3: Diagrama de blocos do sistema (Simulink)

A função de transferência da planta é

Em seguida, utilizamos o seguinte código para obtermos o gráfico das raízes do sistema no programa Matlab.

num = [1]; den = [1 1.5 0.75 0.125]; rlocus(num,den) A partir do gráfico obtido, extraímos o ganho (Kp crítico) e a frequência Wd do ponto onde cruza o eixo y, pois é o limiar da estabilidade, onde a reposta do sistema é uma oscilação