Microeconomia

Bussab&Morettin

Estatística Básica

Capítulo 11

Problema 01
Nº de sucessos

0

1

2

3

4

5

pˆ

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

P ( pˆ )

0,3277 0,4096 0,2048 0,0512 0,0064 0,0003

E ( pˆ ) = 0,2 = p ; Var ( pˆ ) = 0,032 =

p(1 − p)
.
5

Problema 02
Var ( pˆ ) =

p (1 − p ) 1
≤
n
4n

n

10

25

100

400

0,025

0,01

0,0025

0,000625

Limite superior de

Var ( pˆ )

Limite superior de Var(p^)

0,030
0,025
0,020
0,015
0,010
0,005
0,000
0

100

200

300

400

n

Problema 03
(a)

X = ∑i =1 X i n X ~ Binomial (n; p ) ; E ( X ) = np ; Var ( X ) = np (1 − p )

Cap.11 – Pág.1

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Estatística Básica

np
X 1
E ( pˆ 1 ) = E   = E ( X ) =
= p; n n n np (1 − p) p (1 − p )
X 1
.
Var ( pˆ 1 ) = Var   = 2 Var ( X ) =
=
n n2 n n

(b)

X 1 = resultado da 1a prova
X 1 ~ Bernoulli ( p) ; E ( X 1 ) = p ; Var ( X 1 ) = p(1 − p)
E ( pˆ 2 ) = E ( X 1 ) = p ;
Var ( pˆ 2 ) = Var ( X 1 ) = p(1 − p) .
O estimador pˆ 2 não é bom porque só assume os valores 0 ou 1, dependendo do resultado da 1a prova. Além disso, Var ( pˆ 2 ) = nVar ( pˆ 1 ) , ou seja, sua variância é maior que a variância de pˆ 1 , para todo n maior que 1.

Problema 04 lim ( E ( pˆ 1 )) = p e lim Var ( pˆ 1 ) = lim n→∞ n→∞

n →∞

p (1 − p )
=0.
n

Logo, pˆ 1 é um estimador consistente de p. lim ( E ( pˆ 2 )) = p e lim Var ( pˆ 2 ) = lim p (1 − p ) = p (1 − p ) ≠ 0 , para p ≠ 0 e p ≠ 1 .

n→∞

n→∞

n →∞

Logo, pˆ 2 não é um estimador consistente de p.

Problema 05
Propriedades dos

Estimador

estimadores

t1

t2

Viés

2

0

Variância

5

10

EQM

9

10

O estimador t1 é viesado, enquanto que t 2 é não-viesado. A mediana e a moda de t1 e t 2 são iguais ou muito próximas de θ = 100 . Além disso,

EQM (t1 ) = 9 , enquanto que

EQM (t 2 ) = 10 . A única medida realmente discrepante é a variância: Var (t