Microeconomia

Antonio Cipriano Santiago Zaragoza
Departamento de Matemáticas Mayo de 1999

CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES Series de términos cualesquiera
Condición necesaria de convergencia: Sea gente. Entonces fan g ! 0: P an una serie de números reales converP

Criterio general de convergencia o criterio de Cauchy: Sea reales. Son equivalentes: i) P an es convergente m y h 2 N es arbitrario, entonces jan+1 + an+2 + ::: + an+h j < "

an una serie de números

ii) 8" > 0, 9m 2 N : si n

P P Test de comparación: Sean P n y a bn series de números reales. Supongamos que P jan j bn ; 8n 2 N y que la serie bn es convergente. Entonces, an es convergente y se veri…ca que +1 +1 X X an bn En particular, si an es una serie de números reales y P serie an es convergente y se tiene que
+1 X n=1

P

n=1

n=1

P

jan j es convergente, entonces la

an

+1 X n=1

jan j

Series de términos positivos
Criterio de comparación por paso al límite: Sean fan g ; fbn g i) Supongamos que n an bn

R+ :

o

X

! L 2 R+ : Entonces an convergente ,

X

bn convergente

ii) Si iii) Si

n

an bn

n

o

!0y

an bn

o

P

bn es convergente, entonces P

P

an es convergente. P bn es convergente

! +1 y

an es convergente, entonces 0:

Criterio de la raíz o de Cauchy: Sea an i) Si lim n!+1 p n

an = L > 1 ) an = L < 1 )

n 1

ii) Si lim

n!+1

p n

P

an no converge an converge 0: p se tiene que bn bn+1 an+1 an bn+1 an+1 an 0 y la serie P "; entonces P an es

n 1

P

Criterio de Kummer: Sean an ; bn i) Si 9" > 0; y 9p 2 N : para n convergente

ii) Si9p 2 N tal que, para n p, se tiene bn P entonces la serie an tampoco converge. i) Si lim an+1 n!+1 an an+1 n!+1 an

1 bn

no es convergente,

Criterio del cociente o de D’ Alembert: Sea an > 0: =L>1) =L1) =L 0 entonces: n!+1 n 1

ii) Si lim nk an = 0 y k > 1 ) n!+1 n 1

P

P

an converge, k > 1

an converge P an no converge

iii) Si lim