Metodos numericos

Universidade Federal Fluminense

Resolução de Sistemas de Equações Lineares

AX = B

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Resolução de Sistemas de Equações Lineares

Estudaremos métodos numéricos (diretos e iterativos) para “resolver” sistemas, de n equações lineares com n incógnitas, compatíveis determinados, como por exemplo

 x1 + 4 x2 + 3 x3 = 1  2 x1 + 5 x2 + 4 x3 = 4  x − 3x − 2 x = 5  1 2 3
3  1 4 A = 2 5 4    1 −3 −2   3 1 4 442 4 4 4 M atriz dos coeficientes

1  B = 4   5  1 3 424 M atriz dos term os independentes

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Resolução de Sistemas de Equações Lineares

Métodos Diretos

Triangulação de Gauss - Ponto de vista algébrico A triangulação de Gauss tem por objetivo transformar uma matriz quadrada numa matriz triangular superior aplicando-se uma seqüência das seguintes operações elementares sobre as linhas da matriz:

li ← li + α l j com α ∈ e li ↔ l j

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Resolução de Sistemas de Equações Lineares Exemplo 1 : Vamos aplicar a triangulação de Gauss em uma matriz hipotética 4 X 4

1a coluna

a  a A = a 1  a 

(1) 11 (1) 21 (1) 31 (1) 41

a a a a

(1) 12 (1) 22 (1) 32 (1) 42

a a a a

(1) 13 (1) 23 (1) 33 (1) 43

a   a  a   a  
(1) 14 (1) 24 (1) 34 (1) 44

(1)  a21 l2 ← l2 −  (1)  a11

   l1    (1)  a31    l3 ← l3 −  (1)  l1  a A2  a11   (1)  a41   l4 ← l4 −  (1)  l1   a11   

PIVÔ

2a coluna

(1)  a11   0 A = 0 2   0 

(1) a12 0 (2) a32 (2) a42

(1) a13 (2) a23 (2) a33 (2) a43

(1) a14  (2)  a24  (2) a34  (2)  a44  

l2 ↔ l3 } a A2'

PIVÔ

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PIVÔ
(1)  a11   0 A = 0 2'   0  (1) a12 (2') a22 0 (2) a42 (1) a13 (2') a23 (2') a33 (2) a43 (1) a14  (2')  a24  (2') a34  (2)  a44  

(2)  a42    l4 ← l4 −  (2')  l2  a A3  a22   

PIVÔ
(1)  a11   0 A