Metodos de gauss

O método de Gauss-Seidel é um método iterativo para resolução de sistemas de equações lineares. O seu nome é uma homenagem aos matemáticos alemães Carl Friedrich Gauss e Philipp Ludwig von Seidel. É semelhante ao método de Jacobi (e como tal, obedece ao mesmo critério de convergência). É condição suficiente de convergência que a matriz seja estritamente diagonal dominante, i. e., fica garantida a convergência da sucessão de valores gerados para a solução exacta do sistema linear.

Procuramos a solução do conjunto de equações lineares, expressadas em termos de matriz como

A iteração Gauss-Seidel é

x^{(k+1)} = \left( {D - L} \right)^{ - 1} \left( {U x^{(k)} + b} \right), onde A=D+L+U; as matrizes D, L, e U representam respectivamente os coeficientes da matriz A: a diagonal, triangular estritamente inferior, e triangular estritamente superior; e k é o contador da iteração. Esta expressão matricial é utilizada principalmente para analisar o método. Quando implementada, Gauss-Seidel, uma aproximação explícita de entrada por entrada é utilizada:

x^{(k+1)}_i = \frac{1}{a_{ii}} \left(b_i - \sum_{ji}a_{ij}x^{(k)}_j\right),\, i=1,2,\ldots,n.
Diferenciando-se do método de Gauss-Jacob:

x^{(k+1)}_i = \frac{1}{a_{ii}} \left(b_i - \sum_{j=1,j\ne i}^{n} a_{ij}x_{j}^{(k)}\right),\, i=1,2,\ldots,n
Sendo que o método de Gauss-Seidel apresenta convergência mais rápida que este último.

Note que o cálculo de x^{(k+1)}_i utiliza apenas os elementos de x^{(k+1)}\, que já havia sido calculada e apenas aqueles elementos de x^{(k)}\, já haviam avançado para a iteração k+1. Isto significa que nenhum armazenamento adicional é necessário, e que computacionalmente pode ser substituído (x^{(k)}\, por x^{(k+1)}\,). A iteração geralmente continua até que a solução esteja dentro da tolerância