Metodo Nde Gauss

Sistemas de Equa¸c˜ oes Lineares

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Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares
M´etodo de Gauss Matricial, M´etodo de Gauss-Jordan e
Decomposi¸c˜ao SVD
Eduardo Camponogara
Departamento de Automa¸c˜ ao e Sistemas
Universidade Federal de Santa Catarina

DAS-5103: C´alculo Num´erico para Controle e Automa¸c˜ao

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Sum´ ario M´etodo de Gauss: Equacionamento Matricial

M´etodo de Gauss-Jordan

Singular Value Decomposition (SVD)

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M´ etodo de Gauss: Equacionamento Matricial

Sum´ario

M´etodo de Gauss: Equacionamento Matricial

M´etodo de Gauss-Jordan

Singular Value Decomposition (SVD)

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M´ etodo de Gauss: Equacionamento Matricial

Elmina¸c˜ao Gaussiana de Forma Compacta

◮

Vamos construir matrizes que expressam a elimina¸c˜ao
Gaussiana em termos matriciais.

◮

O equacionamento ser´a ilustrado atrav´es de um exemplo.

◮

Seja Ax = b um sistema de equa¸c˜oes lineares dado por:

 

7
10 −7 0



2 6 eb= 4 
A = −3
6
5 −1 5

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M´ etodo de Gauss: Equacionamento Matricial

Elmina¸c˜ao Gaussiana de Forma Compacta
Fazendo


1 0 0
M1 =  m21 1 0  , m31 0 1


onde m21 = 0.3 e m31 = −0.5, obteremos


1 0 0
M1 =  0.3 1 0 
−0.5 0 1

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M´ etodo de Gauss: Equacionamento Matricial

Elmina¸c˜ao Gaussiana de Forma Compacta

Portanto,



7
10 −7 0
M1 Ax = M1 b ⇔  0 −0.1 6  x =  6.1 
2.5
0
2.5 5


Em outras palvras, a pr´e-multiplica¸c˜ao de Ax = b com a matriz
M1 resultou no zeramento dos elementos abaixo de a11 .

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M´ etodo de Gauss: Equacionamento Matricial

Elmina¸c˜ao Gaussiana de Forma Compacta
Repetindo os passos acima para o elemento da coluna 2, abaixo de a22 , executaremos o segundo passo da triangulariza¸c˜ao de A. Seja ent˜ao: 

1
0 0
1 0 ,
M2 =  0
0 m32 1
onde