MÉTODOS ITERATIVOS GAUSS-SEIDEL

FACULDADE PITÁGORAS BETIM - FAP

HENRIKESEN SILVA
KIRKPATRIC

MÉTODOS ITERATIVOS
GAUSS-SEIDEL

BETIM - 2010

HENRIKESEN SILVA
KIRKPATRIC

MÉTODOS ITERATIVOS
GAUSS-SEIDEL

RELATÓRIO DO PROJETO DE PESQUISA
EXPERIMENTO APRESENTADO À DISCIPLINA
DE CÁULCULO NUMÉRICO DO CURSO DE
CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DA FACULDADE
PITÁGORAS
DE
BETIM.
PROFESSOR
ORIENTADOR: DOUGLAS.

BETIM – 2010

Gauss-Seidel
A idéia central dos métodos iterativos é transformar o sistema original A𝑥= b, em um sistema equivalente na forma 𝑥 = C𝑥 + d e, a partir de uma aproximação inicial 𝑋 (0) , gerar uma sequência 𝑋 (𝑘) de aproximações para a solução do sistema. Onde temos 𝑋 (0) como uma matriz transposta e 𝑘 = 0, que sempre apontarão para um erro
(𝜀) aproximado.
O método iterativo Gauss-Seidel consiste em transformar os valores pertencentes às variáveis 𝑥1 , 𝑥2 , ..., 𝑥 𝑘 a partir do momento em que isolamos a diagonal principal, como:
Valor da Constante
Valor do Cociente de iteração

(𝑘+1)

𝑋1

=

(𝑘)

(𝑘)

𝑏1 − 𝑋2 − 𝑋3

Diagonal Isolado

(1)

Valores das Variáveis

Diferentemente do método de Gauss-Jacobi, este método não se utiliza da forma equivalente 𝑥 = C𝑥 + d. Em
Gauss-Seidel iremos realizar iterações baseados nas informações prestados na imagem (1), onde, cada iteração realizada serve como informação para a próxima iteração. Como:
𝑋1
𝑋1 =

𝑘+1

=

𝑋2 𝑘+1 =
𝑋3 𝑘+1 =

𝑏1 − 𝑋2

𝑘

− 𝑋3

𝑘

𝑏2 − 𝑋1 𝑘+1 − 𝑋3 𝑘
𝑏3 − 𝑋1 𝑘+1 − 𝑋2 𝑘+1

𝑎1
𝑎2

(2)

𝑎3

Após a obtenção destes resultados, é necessário que façamos:
(1)

(0)

𝑋1 − 𝑋1

(1)
(0)
𝑚(1) 𝑋2 − 𝑋2
(1)

(3)

(0)

𝑋3 − 𝑋3

Não podemos esquecer que os valores de 𝑋 (0) é dado por uma matriz transposta corresponde a quantidade de variáveis existentes no sistema.

O processo iterativo será repetido até que o vetor 𝑋 (𝑘) esteja suficientemente próximo do vetor 𝑋 (𝑘−1) . Para medir a distância