CN aula06 sistemasLineares Metodo itertivo

Métodos Iterativos
Cálculo Numérico

Motivação







Em certos casos, métodos diretos não são eficientes, por exemplo, quando a matriz dos coeficientes é uma matriz esparsa (muitos elementos iguais a zero)
Métodos iterativos são mais econômicos no que tange a memória dos computadores
Podem ser usados para reduzir os erros de arredondamento na solução obtida por métodos exatos Em alguns casos podem ser aplicados para resolver conjuntos de equações não lineares

Um método é iterativo quando fornece uma sequência de aproximações da solução
 Cada uma das aproximações é obtida das anteriores pela repetição do mesmo processo  Precisam sempre saber se a sequência obtida está convergindo ou não para a solução desejada.


Convergência


Dados uma sequência de vetores x(k)  E



Uma norma sobre E, onde E é um espaço vetorial 

Dizemos que a sequência {x(k)} converge para x
 E se ||x(k) – x||  0, quando k  .

Para determinar a solução de um sistema linear por métodos iterativos, precisamos transformar o sistema dado em um outro sistema onde possa ser definido um processo iterativo  A solução obtida para o sistema transformado deve ser também solução do sistema original
(sistemas lineares devem ser equivalentes)


Assim um sistema do tipo Ax=b é transformado em xk =Fx(k-1)+d
 Escolhemos uma aproximação inicial x 0
 Assim, x1 =Fx0 +d
 x2 = Fx1+d
 E assim sucessivamente


Método de Jacobi


Iterativamente, reescreve-se o sistema x1 1
(k )
(k )
(k ) b1  a12 x 2
 a13 x 3  ......  a1n x n a11 ( k 1)



( k 1)



x2





1
(k )
(k )
(k ) b2  a 21 x1  a 23 x 3  ......  a 2 n x n a 22





......................................................... xn ( k 1)



1
(k )
(k )
(k ) bn  a n1 x1  a n 2 x 2
 ......  a n , n  1 x n  1 a nn





Método de Jacobi


Desta forma
0


  a21 / a22
F 
........

 a / a n1 nn


 a12 / a11
0

......
.......

.........
 an 2 / ann

.......
.......

 b1 / a11 


 b2 / a22  d 