Calculo numérico

FACULDADE ANHANGUERA RIO GRANDE
ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
TURMA: E44

Fernanda Quintava-8405108716
Kelen Marques- 9902013534
Marcos Heifel-8062796403
Rochele G. Schramm- 9292689335
Talira Roubouta-8406105475

CALCULO NUMÉRICO

Rio Grande
2015
INTRODUÇÃO
A ideia central dos métodos interativos é generalizar o método ponto fixo utilizado na busca de raízes de uma equação.
Seja o sistema linear Ax = b, onde:
A: matriz dos coeficientes, n x n; x: Vetor de variáveis, n x ; b: Vetor dos termos constantes, n x 1.
Este sistema é convertido, de alguma forma, num sistema do tipo, x = Cx=g, onde “C” é a matriz n x n e “g” vetor n x 1. Obervamos que φ(x)= Cx + g é uma função de interação dada na forma matricial.
É então proposto o esquema iterativo:
Partimos de x° (Vetor aproximação inicial), construímos consecutivamente os vetores:

=+ g = φ () (primeira aproximação)
= + g = φ () (segunda aproximação)
E assim segue sucessivamente.
De um modo geral, a aproximação é calculada pela formula = + g, ou seja,
= φ (), k = 0, 1, ...
É importante observar que se a sequencia de aproximações , , ..., é tal que, = α, então α = Cα + g, ou seja, α é solução do sistema linear Ax = b.

MÉTODO DE GAUSS-JACOBI
O método de Gauss- Jacobi, consiste em dado , aproximação inicial obter ..., através da relação recursiva = + g.
Exemplo:

Pelo método de Gauss- Jacobi com = e ɛ = 0,05.
O processo literário é:

Na forma matricial = + g , temos:
C = e g =
Assim ( K = 0 ), temos:

= + g =
Calculando , temos : = 0,26 = 0,26 = = = 0,1828 ɛ = 0,34

Prosseguindo as iterações, temos:
Para k = 1 : = = = 0,0606 ɛ

E para k = 2 : = = = 0,0163
Então, a solução do sistema linear acima, com erro menos que 0,05 obtida pelo método de Gauss- Jacobi , é: = =
Neste exemplo tomamos = = . No entanto, o valor de é arbitrário, pois veremos mais adiante que a convergência ou não de um método iterativo para a solução de