Metodo dos Minimos Quadrados

MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
I - INTRODUÇÃO
O processo de medida constitui uma parte essencial na metodologia científica e também é fundamental para o desenvolvimento e aplicação da própria ciência. No decorrer do seu curso de Física Básica, a parte experimental ressalta o processo de medida.
Até este ponto você tem empregado diversos conceitos como valor mais provável de uma grandeza, desvio, etc., fazendo apelos a noções intuitivas a cada novo conceito. Ou seja, sem a preocupação de apresentar uma axiomática partindo de princípios gerais.
Um primeiro passo nesta direção está no que se chama de Princípio dos Mínimos Quadrados.
Este processo de sistematização da teoria da medida permite, como veremos, obter bons resultados no ajuste de curvas. Embora possa ser utilizado no ajuste de outras curvas, vamos apresentar este método e seu uso para o ajuste de retas, por ser no momento nosso principal objetivo.
II - PRINCÍPIO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
Enunciado do Princípio dos Mínimos Quadrados: Suponha que seja realizado um conjunto de medidas de uma mesma quantidade física. Se essas medidas estão sujeitas apenas a erros aleatórios, então o valor mais provável da quantidade medida é aquele que torna a soma dos quadrados dos erros um mínimo.
Este princípio pode ser aplicado em várias situações. Como exemplo, vamos utilizá-lo para obter a melhor estimativa (valor mais provável) para uma grandeza medida várias vezes.
Suponha que efetuamos o seguinte conjunto

M  {x1 , x 2 ,... x n } de medidas de uma quantidade física cujo valor verdadeiro é x . Então os erros nas medidas são:

 1  x1  x ,
 2  x2  x ,


 n  xn  x ,

e a soma de seus quadrados é:
2
2
E ( x )   12   2  ...   n

E ( x) 



2 k k

E ( x) 

(x

k

 x) 2

(A)

k

O valor verdadeiro, x , é uma quantidade desconhecida que o experimento visa determinar.
Dentre todos os possíveis valores que x possa assumir, o Princípio dos Mínimos