Metodo de newton

METODO DE NEWTON

Pode ser encarado como um caso particular do método do ponto fixo, onde é possível obter uma convergência quadrática. Basta reparar que se f '(z) =/= 0: f(z) = 0 z = z - f(z) / f '(z) definindo a função iteradora g(z) = z - f(z) / f '(z), e os pontos fixos de g serão os zeros de f.
Para além disso, podemos ver que : g'(z) = f(z) f ''(z) / ( f ' (z) )2 ora como f(z) = 0 então g'(z) = 0 . Pelo teorema anterior, usando esta função iteradora g, é possível arranjar uma vizinhança da raiz onde asseguramos, pelo menos, uma convergência quadrática (desde que f ' (z) =/= 0).
Portanto o método de Newton resume-se a efectuar as iterações:
Iterada inicial: x0 xn+1 = xn - f(xn ) / f ' (xn )
Historicamente, a origem do método de Newton é geométrica.
Consiste em definir a nova iterada a partir da intersecção com o eixo das abcissas da tangente à função f (calculada na iterada anterior) : basta reparar que a equação da tangente num ponto xn é y = f(xn ) + f ' (xn ) ( x - xn ) e a iterada xn+1 é a "raiz da tangente", basta pois fazer y = 0 para verificarmos que o valor de xn+1 coincide com o obtido.
É também claro, mesmo geometricamente, que não podemos ter iteradas em que f ' (xn) = 0, pois ficariamos com tangentes paralelas ao eixo das abcissas, que nunca o intersectariam (... na "nossa" geometria euclidiana!).
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Para assegurar a convergência, podiamos aplicar o teorema do ponto fixo à função g do método de Newton, mas podemos estabelecer um critério mais simples :
Teorema (Condições Suficientes de Convergência para o Método de Newton):
Seja f uma função C2[a, b] que verifique :
1) f(a) f(b) < 0
2) f ' (x) =/= 0 para qualquer x em [a,b]
3) f ''(x) > 0 ou f ''(x) < 0 para qualquer x em [a,b]
4a) | f(a) / f '(a) | < | a - b | e também | f(b) / f '(b) | < | a - b | ou 4b) f(x0 ) f ''(x) > 0 para qualquer x em [a, b] então: a equação f(x) = 0 tem uma solução única z pertencente ao intervalo