métodos de Newton

MÉTODO DE NEWTON PARA SISTEMAS NÃO LINEARES

__

 F(x , y )  0
 x  F( x, y)
Tomemos o sistema 
, ele pode ser reescrito na forma 
, onde a
__
G ( x , y)  0
 y  G ( x , y)

__ __

solução a ser determinada é u  ( x , y ) .
__ __
F G F G
Considerando que D(x, y)  .
 .
 0 esteja em uma vizinhança de u  ( x , y ) ,
x y y x utilizaremos o Método de Newton para encontrar a solução deste sistema. Tal método consiste em um algoritmo que chega a tal solução de forma iterativa.
Num primeiro momento, escolhe-se x0 e y0 como valores iniciais da solução do sistema. A partir daí usamos as fórmulas iterativas abaixo para obtenção das seqüências ...

x r 1



G   F
  F ( x, y ) .


  y .G ( x, y )  

y  


 xr   

 F G   F G 





.
.
 x y   y x 



 




(1)

y r 1

  F
G  
 

.G ( x, y)    F ( x, y ).

  x
x  
 
 yr  

 F G   F G 



.

.

 x y   y x 



 




O índice r indica que o cálculo é feito para xr e yr .
Se as seqüências forem CONVERGENTES, então elas convergem para a SOLUÇÃO do sistema. Exemplo :
• Encontre, usando o método de Newton para sistemas transcendentes, a solução do sistema
x 2  y  1  0
.
 2
y  x  1  0

Resolução :
Temos F(x, y ) = x 2 + y – 1 e G(x, y ) = y2 + x – 1, logo encontramos as derivadas parciais de primeira ordem são:
F
 2x
x

G
1
x
Utilizando as fórmulas ( 1 ), temos :

F
1
y

G
 2y
y

F
y

F( x , y)

F
x

G
y
F
y

G
x

G
y

G ( x, y ) x r 1  x r 

F
x

e

y r 1  y r 

G
x
F
x

F( x , y )

G ( x , y)
F
y

G
x

G
y

x  1
Considerando  0 e utilizando as fórmulas acima, obtemos :
y0  1
x 1  0,67

 y 1  0,67

x 2  0,62

 y 2  0,62

x 3  0,62

 y 3  0,62