Media

Definimos a média harmônica entre os números reais e positivos x1, x2, x3, ..., xn como sendo o inverso da média aritmética do inverso destes números.
Como sabemos a média aritmética dos números x1, x2, x3, ..., xn é dada por:

Só que no caso da Média harmônica estamos falando do inverso destes números, então teríamos a seguinte média aritmética:

Além disto, como vimos que a Média harmônica é o inverso da média aritmética do inverso dos referidos números, então finalmente temos:

Quando utilizamos a Média Harmônica
A média harmônica é utilizada quando estamos trabalhando com grandezas inversamente proporcionais.
Um exemplo clássico é aquele onde estamos trabalhando com velocidade e tempo, pois ao aumentarmos a velocidade diminuímos o tempo necessário para percorrer um determinado trajeto e vice-versa.

Compreendendo o Conceito de Média Harmônica
Já estudamos a média aritmética e a média geométrica, que conceitualmente são de mais fácil compreensão, no entanto apesar de simples o seu cálculo, a média harmônica é um conceito um pouco mais difícil de se entender.
Para uma maior facilidade de assimilação do conceito, como de costume vamos recorrer a um exemplo:
Um veículo realizou o trajeto de ida e volta entre as cidades A e B. Na ida ele desenvolveu uma velocidade média de 80 km/h, na volta a velocidade média desenvolvida foi de 120 km/h. Qual a velocidade média para realizar todo o percurso de ida e volta?
Embora não tenha sido dito no enunciado, estamos considerando que os trajetos de ida e volta têm a mesma medida.
É fácil entender que a média aritmética das velocidades seria de 100 km/h:

Porém a pergunta não foi qual a média das velocidades, mas sim qual a velocidade média para realizar todo o percurso.
A resposta para esta pergunta seria a média harmônica de 96 km/h:

Mas por que 96 km/h? Em que se baseia este resultado?
Vamos fazer o seguinte, já que independentemente da distância entre as cidades as velocidades médias foram de 80