Matrizes

UNIVERSIDADE DOS AÇORES Departamento de Matemática Curso de Especialização Tecnológica (CET) Desenvolvimento de Produtos Multimédia (DPM)

Tópicos de Matemática Discreta Capitulo 1 - Álgebra de Matrizes

1. Operações com matrizes
Definição : Adição de matrizes e multiplicação por um escalar Sendo A = [aij], B = [bij] ∈ Mm×n(ℜ) e α ∈ ℜ, define-se: 1. A + B como sendo a matriz do tipo m × n cujo elemento (i, j) é aij + bij. Assim A + B = [aij + bij]m × n. 2. αA como sendo a matriz do tipo m × n cujo elemento (i, j) é αaij. Tem-se então αA = [αaij]m×n.

Exemplo
⎡ 1 0 −6 ⎤ ⎡ 10 3 8 ⎤ ⎡ 11 3 2 ⎤ e B=⎢ , tem-se A + B = ⎢ Sendo A = ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ e ⎣ 1 6 4⎦ ⎣ −1 7 12 ⎦ ⎣ −2 1 8 ⎦
⎡1 1 2 A=⎢ ⎢ −1 2 ⎣ 0 −3⎤ ⎥. 1 4⎥ 2 ⎦

Propriedades da adição de matrizes Sejam A, B e C matrizes em Mm×n(ℜ). Então verifica-se: 1. (A + B) + C = A + (B + C) (associatividade da adição). 2. A + B = B + A (comutatividade da adição). 3. A + 0 = 0 + A = A (0 é elemento neutro da adição). 4. A + (−A) = (−A) + A = 0 (−A é o elemento simétrico ou oposto de A).

Propriedades da multiplicação de uma matriz por um escalar Sejam A, B e C matrizes em Mm×n(ℜ). Então verifica-se: 1. α(A + B) = αA + αB 2. (α + β)A = αA + βA 3. (αβ)A = α(βA) 4. 1A = A, ou seja, se multiplicarmos o escalar um por qualquer matriz A, obtemos a própria matriz A. 5. 0A = 0, ou seja, se multiplicarmos o escalar zero por qualquer matriz A, obtemos a matriz nula.

Definição : Multiplicação de matrizes Sendo A = [aij] ∈ Mm×n (ℜ)e B = [bij] ∈ Mn×p(ℜ), define-se AB como sendo a matriz do tipo m×p cujo elemento (i, j) é ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj. Assim,
⎡ n ⎤ AB = ⎢ ∑ aik bkj ⎥ . ⎣ k =1 ⎦ m× p

Como se pode ver pela definição, o produto AB da matriz A pela matriz B, apenas está definido se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. Neste caso o número de linhas da matriz AB é igual ao número de linhas de A e o número de colunas é igual ao de B. O elemento de AB situado na linha i e coluna j obtém-se a