Matrizes

´ Algebra Linear - Matrizes
Pedro Pablo Durand Lazo

Defini¸˜o e Primeiras propriedades ca
Para p ∈ IN, denotamos mediante Jp o conjunto {k ∈ IN : 1 ≤ k ≤ p} Defini¸˜o 1 Sejam m, n ∈ IN e IK um conjunto. Chama-se matriz de ordem m × n em IK toda ca fun¸˜o ca a : Jm × Jn → IK; (i, j) → a(i, j) = aij A matriz a representa-se por (aij )m×n . O conjunto das matrizes em IK de ordem m×n representase por MIK (m, n). Se m = n, diz-se que a matriz ´ quadrada de ordem n. MIK (n) representa o e conjunto das matrizes em IK de ordem n. Costuma-se representar a matriz como uma disposi¸˜o A de seus termos em m linhas e n ca colunas: a = (aij )m×n = (aij ; (i, j) ∈ Jm × Jn ) = A  a11 a21 . . . a12 a22 . . . ··· ··· .. . a1j a2j . . . aij . . . amj ··· ··· ··· ··· .. . ··· a1n a2n . . . ain . . . amn          

ai,j ´ o termo que ocupa a i − esima linha e j − esima coluna. e ´ ´ Defini¸˜o 2 Sejam a, b ∈ MIK (m, n). ca a = b ⇔ para todo (i, j) ∈ Jm × Jn : aij = bij S˜o de interese os casos em que o cunjunto IK est´ munido de opera¸˜es tais como soma e a a co multiplica¸˜o. Nestes casos pode-se definit para A, B ∈ MIK (m, n) e λ ∈ IK: ca A + B = (aij + bij )m×n λA = (λaij )m×n

A R

    A =   ai1 ai2 · · ·   . . .  . . . ··· am1 am2 · · ·

U C S

O H N

No caso que IK = IR (ou um corpo qualquer), temos: Para todo A, B, C ∈ MIK (m, n) e todo α, β ∈ IK: (V 1) (V 3) (V 5) (V 7) A+B =B+A A+0=A α(β)A = (αβ)A (α + β)A = αA + βA (V 2) (A + B) + C = A + (B + C) (V 4) A + (−A) = 0 (V 6) α(A + B) = αA + βB (V 8) 1A = A 1

onde 0 = (aij )m×n com aij = 0 para todo (i, j) ∈ Jm × Jn . e −A = (−aij )m×n se A = (aij )m×n . No que segue, as matrizes que usaremos ser˜o definidas no corpo IR dos m´meros reais. a u Exemplo 3 Seja a matriz: a : Jm × Jn → IK; (i, j) → a(i, j) = aij = i + j Representamos a matriz a por: A= . a ∈ MIK (2, 3), Exemplo 4 Seja a matriz: a = (i + j)2×3 ≡ A 2 3 4 3 4 5

b : Jm × Jn → IK; (i, j) → b(i, j) = bij = 2i−j Representamos a matriz b