matrizes

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

Prof. Hector Carrion S.

Álgebra Linear

Aula 03
Inversão de matrizes

Resumo
•Matriz inversa
•Inversa de matriz elementar
•Matriz adjunta

•Inversão de matrizes

Inversão de matrizes
•Uma matriz quadrada Anxn admite inversa se existe uma matriz Bnxn , onde B=A-1 é a inversa de A, tal que:

AB

BA

I , ou A A

-1

-1

A A 1

•Uma matriz inversível é dita também não singular
. A inversa de uma matriz é única (provar).

Inversão de matrizes
•Propriedades (A,B,C e D matrizes inversíveis)
•Cada matriz admite uma única inversa
•A.A-1=A-1.A=I
•(A-1)-1=A
•(AT)-1=(A-1)T
•(AB)-1=B-1.A-1
•(ABCD)-1=(BCD)-1A-1
=(CD)-1B-1A-1
=D-1C-1B-1A-1,
verifique que :
(ABA-1)3=AB3A-1

Inversão de matrizes
•Matriz elementar - Emxn (K), K={R, C,..}
•Matriz obtida com apenas uma operação elementar a partir da matriz Identidade
1 0 0
1 0 0
L3 = L3 - 2 L1
E1
0 1 0
I 3x3
0 1 0
2 0 1
0 0 1
E1 é matriz elementar

Inversão de matrizes
•As matrizes elementares são inversíveis e sua
Inversas são matrizes elementares.
E1 E2

E2 E1

I , ou seja E 2

E1

1 0 0

. Se pode verificar facilmente que
E2 é também elementar e

-1

E2

0 1 0
2 0 1

I

L3 = L3 + 2 L1

E2

Inversão de matrizes
Determinação da inversa de uma matriz.

. Caso particular:matriz 2 x 2
• Usando operações elementares e a matriz identidade.

• Matriz adjunta

Inversão de matrizes
Determinação da inversa de uma matriz.

. Matrizes A2 x 2
A

Matriz inversa

A

1

Importante: Se det(A) ≠ 0

a

b

c

d

d
1
det( A) c

b a A é inversível

Inversão de matrizes
Aplicação direta: a11 x1 a12 x2

b1

a21 x1 a22 x2

b2

A

a11 a21 a12 a22 • A X = B, se det(A) ≠ 0 então
A tem inversa (A-1 existe).
• Então X= A-1 B solução do
Sistema linear anterior

b11 b21 B

x1 x2 X

x1 x2 b1a22 b2 a12 det A b2 a11 b1a21 det A

Inversão