Maravilhas modernas

Seja M o conjunto das matrizes com n linhas e n colunas sobre um corpo K. Pode-se provar que existe uma única função f com as seguintes propriedades:

f é n-linear e alternada nas linhas das matrizes; f(In) = 1, onde In é a matriz identidade.
Esta função chama-se determinante.

O determinante de uma matriz A representa-se por |A| ou por det(A

Propriedades
O determinante também é uma função n-linear e alternada nas colunas da matriz;
O determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta: det(A) = det(AT);2
Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então o determinante desta matriz será zero;
Se escrevermos cada elemento de uma linha ou coluna de A como soma de duas parcelas então det(A) é a soma de dois determinantes de ordem n cada um considerando como elemento daquela linha ou coluna uma das parcelas, e repetindo as demais linhas ou colunas;
Se uma matriz é triangular (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal;
Multiplicando uma fila (linha ou coluna) de uma matriz A por um escalar λ ∈ K, então o determinante da nova matriz é igual ao determinante de A multiplicado por λ;
Se permutarmos duas linhas ou colunas de A então o determinante da nova matriz é −det(A);
Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det(A) = 0;
Se somarmos a uma linha (ou coluna) de A um múltiplo de outra linha (ou coluna), o determinante da nova matriz é igual ao de A;
Se A e B são matriz quadradas da mesma ordem, então det(AB) = det(A).det(B);3
Se A é invertível, então det(A−1) = 1⁄det(A), de onde resulta que se A é invertível então det(A) ≠ 0;
Se A é ortogonal, então det(A) =