Lista de Cálculo 2

Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matem´atica

C´ alculo 2
Lista de Exerc´ıcios – M´ odulo 1 – Lista 1

1) Dizemos que um n´ umero r ´e raiz de uma fun¸ca˜o f (x) quando f (r) = 0. Nesse exerc´ıcio vamos considerar um procedimento para obter uma raiz de uma fun¸ca˜o f por aproxima¸co˜es sucessivas, conhecido como m´etodo de Newton. Ele fornece, a partir de uma dada aproxima¸ca˜o xn da raiz, uma nova aproxima¸ca˜o xn+1 dada pela interse¸ca˜o do eixo x com a reta tangente a` f em xn . f xn

xn+1 x r

f (xn )
.
f (xn )
b) Suponha que f (x) e f (x) s˜ao fun¸co˜es cont´ınuas. Mostre que, se lim xn = r, ent˜ao r
´e uma raiz de f . xn 1
c) Aplicando o primeiro item para a fun¸ca˜o f (x) = x2 − 2, mostre que xn+1 =
+ .
2
xn
Quais ra´ızes que estamos aproximando nesse caso?
a) Usando a equa¸c˜ao da reta tangente a` f em xn , mostre que xn+1 = xn −

d) No item anterior, come¸cando da aproxima¸ca˜o inical x1 = 2, obtenha as 4 aproxima¸co˜es seguintes. 2) O objetivo desse exerc´ıcio ´e mostrar que lim

n!
= 0. nn a) Verifique que n! nn−1n−2
321
=
·
·
·
nn n n n nnn
1
n!
≤ . n n n n!
c) Usando o item anterior, mostre que lim n = 0. n √
3) O objetivo desse exerc´ıcio ´e mostrar que lim n n = 1.
b) Usando o item anterior, mostre que 0 <

√
a) Verifique que log ( n n) =

log(n)
.
n

√ n n = exp
√
c) Usando o item anterior, mostre que lim n n = 1.

b) Usando o item anterior, verifique que

4) O objetivo desse exerc´ıcio ´e mostrar que lim 1 +

1 n n log(n) n .

= e.
P´agina 1 de 12

a) Verifique que log

1+

1 n n =

1 log(1+ n
)
1 n .

b) Usando o item anterior, verifique que 1 +

1 n n c) Usando o item anterior, mostre que lim 1 +

= exp

1 n n 1 log(1+ n
)
1 n .

= e.

5) (Desafio) A sequˆencia rn da raz˜oes dos termos consecutivos da sequˆencia de Fibonacci satisfazem r1 = 1 e a equa¸ca˜o de recorrˆencia rn+1 = 1 +

1 rn Por outro lado, a raz˜ao a´urea ϕ > 1 satisfaz uma equa¸ca˜o parecida

ϕ=1+

1 ϕ O objetivo desse exerc´ıcio ´e mostrar que lim rn = ϕ