lista CALCULO 2

Lista 3 - CFVV - prof.

Alexandre

Turma: 3◦ Semestre Engenharia(Turmas: Civil e Mecˆnica) a Assunto :

Derivadas Parciais, Regra da Cadeia, Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente

1 Obtenha as derivadas parciais

∂z ∂z e da fun¸ao z = x2 · seny. c˜ ∂x ∂y

2 Seja a fun¸˜o f (x, y) = 4y 3 + ca x2 + y 2 , calcule fx .

3 Seja a fun¸˜o f (θ, φ) = sen(3θ) · cos(2φ) , calcule ca 4 Obtenha

∂f
.
∂φ

y
∂z
x2
, sendo z = e x · ln
.
∂y y 5 Dada W = x2 y + y 2 z + z 2 x. Prove que:
∂w ∂w ∂w
+
+
= (x + y + z)2 .
∂x
∂y
∂z
6 Seja z = x2 · sen2 (y) . Calcule fy . x y

z y 7 Seja u = e + e , obtenha

∂u
.
∂x

8 A conhecida equa¸˜o de Laplace ´ dada por ca e

∂ 2u ∂ 2u
+
= 0. Verifique a que a fun¸˜o ca ∂x2 ∂y 2

u(x, y) = ex · sen(y) ´ solu¸ao da equa¸ao de Laplace. e c˜ c˜ 9 Obtenha fyyy em f (x, y) = 3xy 4 + x3 y 2 .
10 Em u = e

r·θ

· senθ, obtenha

∂ 3u
.
∂r2 ∂θ

11 Utilize a regra da cadeia para determinar

∂z ∂z e em :
∂s ∂t

(a) z = x2 y 3 , x = s · cos(t) e y = s · sen(t) r (b) z = e cos(θ) , com r = s · t e θ =

√

s2 + t2

12 A press˜o de 1 mol de um g´s ideal ´ aumentada a taxa de 0, 05kP a/s e a temperatura ´ elevada a a e ` e a taxa de 0, 15k/s. Utilize a equa¸ao P · V = 8, 31 · T para encontrar a taxa de varia¸ao do volume, no
`
c˜ c˜ instante em que a press˜o ´ 20kP a e a temperatura ´ 320K. a e e 2
13 A temperatura em qualquer ponto de uma placa plana ´ T graus e T(x,y) = 54 − x2 − 4y 2 . Se e 3 a distˆncia for medida em cm, ache a taxa de varia¸˜o da temperatura da placa em rela¸ao ` distˆncia a ca c˜ a a movida ao longo da placa nas dire¸˜es dos eixos positivos x e y, respectivamente, no ponto (3, 1). co 14 Se z = f (x, y) , onde x = s + t e y = s − t, mostre que :
∂z
∂x

2

−

∂z
∂y

2

=

∂z ∂z
∂s ∂t

15 Calcule a taxa de varia¸˜o da temperatura no instante em que o volume de um g´s ideal ´ de 120m3 ca a e e