Lista de Bases Matemáticas

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LISTA 0 - BASES MATEMATICAS
Resolu¸˜o
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Elementos de L´gica e Linguagem Matem´tica o a

1 — Dˆ exemplos ou contra-exemplos, se existirem, para as seguintes afirma¸˜es: e co
a) Para todo x ∈ , x + 1 > 2
Exemplos: qualquer n´mero real maior que 1. u Contra-exemplos: qualquer n´mero real menor ou igual a 1. u b) Todas as letras da palavra “banana” s˜o vogais. a Exemplos: as letra ‘a’.
Contra-exemplos: as letras ‘b’ e ‘n’.
c) Para todo x ∈ , x2 < x
Exemplos: Qualquer real pertencente a (0, 1)
Contra-exemplos: Qualquer real pertecente a (−∞, 0] ou [1, ∞)
d) Para todo m, n ∈ N pares, temos que n + m ´ par. e Exemplos: m = 10 e n = 20 ou m = 2 e n = 1, entre outros.
Contra-exemplos: N˜o existem. a 2 — O que as seguintes afirma¸˜es significam? Elas s˜o universais ou particulares? co a
Elas s˜o verdadeiras? O universo de discurso em todos os casos ´ os n´ meros naturais. a e u a) ∀x∃y(x < y)
Para todo natural x existe um y tal que x ´ menor que y. e A proposi¸˜o ´ universal e verdadeira. ca e
b) ∃y∀x(x < y)
Existe um y para todo x tal que y ´ maior que x. e A proposi¸˜o ´ particular e falsa, pois se x = y + 1, por exemplo, n˜o ´ maior que y. ca e a e
c) ∃x∀y(x < y)
Existe um x para todo y tal que x ´ menor que y. e A proposi¸˜o ´ particular e falsa, pois se y = x − 1, por exemplo, n˜o ´ menor que x. ca e a e
d) ∀y∃x(x < y)
Para todo y existe um x tal que y ´ maior que x. e A proposi¸˜o ´ universal e verdadeira. ca e
e) ∃x∃y(x < y)
Existe um x e existe um y tal que x ´ menor que y. e A proposi¸˜o ´ particular e verdadeira. ca e
f) ∀x∀y(x < y)
Quaisquer que sejam x e y, x ´ menor que y. e Proposi¸˜o universal e falsa. Contra exemplo: x = 3 e y = 2. ca 3 — O que as seguintes afirma¸˜es significam? Elas s˜o verdadeiras? Dˆ exemplos e co a e contra-exemplos, quando poss´ ıvel. O universo de discurso em todos os casos ´ os n´ meros e u

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naturais.
a) ∀x∃y(2x − y = 0)
Para todo x existe um y tal