Limite

4.1 Introdução
O conceito de limite e continuidade é um conceito importante na definição de derivada e integral. Neste capítulo trabalhamos com limite, continuidade, derivada e integral utilizando os comando do Mathematica. Abordamos também a derivada de ordem superior, derivada parcial, derivada das funções implícitas e integração múltipla.
4.2 Conceito de limite
Iniciamos este capítulo com o cálculo de limites. O comando utilizado em Mathematica para este cálculo é "Limit[expressão,x->x0]". Também utilizamos a opção "Direction", o que permite o cálculo de limites laterais, isto é, à direita e à esquerda. Veja os exemplos a seguir:
Exemplo 4.1
Calcular os seguinte limites:
a) , onde ;
b) ;
c) , onde f(x) é dada como em a).
Resolução
Utilizamos o comando "Limit" para resolver estes exemplos:
a) In[ ]:= f[x_]:=( 5+3 x+4 x^2)/(10 5 x+8 x^2) Limit[f[x],x->5] Out[ ]=
b) In[ ]:= Limit[(1+x)^(1/x),x->0] Out[ ]= E
c) In[ ]:= Limit[f[x],x->Infinity] Out[ ]=
Assim, concluímos que
• = ;
• = e;
• = .
A seguir apresentamos exemplos de cálculo de limites à direita e à esquerda.
Exemplo 4.2
Calcular os seguintes limites à direita e à esquerda:
a) ;
b) .
Faça a visualização gráfica de cada uma destas funções.
Resolução
Para calcular os limites direcionados utilizamos a opção "Direction" juntamente com o comando "Limit":
a) In[ ]:= f[x_]:=(4 x^2)/(2 x) In[ ]:= Limit[f[x],x->2,Direction-> 1] Out[ ]= 4 In[ ]:= Limit[f[x],x->2,Direction->1] Out[ ]= 4
Assim, concluímos que
• ; isto é,
• .
Veja a seguir, o gráfico da função dada:
In[ ]:= Plot[(4 x^2)/(2 x),{x,0,3}] Out[ ]= -Graphics-
b) In[ ]:= Limit[1/x,x->0,Direction-> 1] Out[ ]= Infinity In[ ]:= Limit[1/x,x->0,Direction-> 1] Out[ ]= -Infinity
Assim, concluímos que
• e isto é,
•
não existe.
A visualização gráfica desta função é obtida usando o comando "Plot".
In[ ]:= Plot[1/x,{x, 1,1}]